平面图的哪些属性可以推广到更高维/超图？

甲平面图形是可以被嵌入在平面上，而无需跨越边缘的曲线图。

令是一个k均匀超图，即一个超图，其所有超边的大小都为k。$G=(X,E)$$k$

已经在将超图嵌入平面中（通过集群或其他应用程序的上下文）上进行了一些工作，但是通常，数据根本无法嵌入到平面中。解决的办法可能是强制它，但有一些损失，或者将其嵌入更高的维度，如我在这里建议的那样：

平面度的自然扩展（至少是IMO）是G的“ 简单嵌入”（它有一个已知的不同名称吗？）：嵌入M：X → R k，使得存在连接的表面每个超边的所有顶点，除端点外，这些顶点不相交。$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

（考虑一下2D中的模拟，其中每个表面都是可以绘制的边缘，但可以随意绘制）。

这是3均匀超图的有效3简单嵌入的示例。（每个顶点由包含在其中的超边缘着色，每个面代表一个超边缘）。

3个简单图的另一个示例是在5个顶点上的完整3一致超图。要查看此图像，只需在R 3中取4个不位于2D平面上的点，创建一个三角形金字塔（其凸包），然后将第五个点放置在金字塔的中心，将其连接到其他顶点。$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

同样，似乎在6个顶点上的完整3一致超图没有3简单嵌入。

平面图具有一些非常有用的属性，这些属性允许在平面图为平面时改进解决难题的算法。不幸的是，数据有时不是平面的，尽管有时它是低维的。我认为了解平面图的哪些特性可以帮助我们找出可以使用同一工具将哪些算法应用于更高维度。

一个有用的属性示例来自法里定理，该定理表明每个平面图都可以以其所有边缘均为直线段的方式嵌入。

$k$

还有其他可以概括的属性吗？例如，可以将平面图的欧拉公式以某种方式推广到更高的维度吗？（尽管目前我不确定它的含义是什么）。

首先，您的焦点似乎在超图上，但是我认为大多数有关嵌入超图的文献都倾向于使用单纯形复合体。Matousek，Tancer和Wagner的论文对这些问题提供了很好的参考。

法里定理在更高维度上成立吗？

答案是不。

实际上，存在3种不同的可嵌入性概念：具有笔直，分段线性和连续（超）边。在飞机上，它们全都重合，但总的来说它们并不重合。关于直线嵌入，第一个反例归功于Brehm

Brehm，U。（1983）。非多面体三角莫比乌斯带。程序 阿米尔。数学。Soc。，89（3），519-522。doi：10.2307 / 2045508

使用拟阵理论的结果来列举几个例子。

关于PL和拓扑嵌入之间的差异，这是由Hauptvermutung产生的一般反例导致的：在维5和更大的维中，存在不允许任何分段线性结构的拓扑球

还有其他可以概括的属性吗？例如，可以将平面图的欧拉公式以某种方式推广到更高的维度吗？

$k$

同样，在6个顶点上的完整3形图似乎没有3形简单嵌入。

实际上，这是由于范·坎彭·弗洛雷斯（van Kampen-Flores）的阻塞造成的。在Matousek的《使用Borsuk Ulam定理》中，这一点得到了非常详细的解释。

哦哦 您要非常非常小心。3d中凸多面体的接触图可以实现任何图。出人意料的是，集团可以通过n个多面体来实现，该n个多面体是同一个多面体的n个旋转和平移的副本（令人难以置信的）。参见本文：

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

这已经意味着您可以将漂亮的讨厌的图编码为3d中三角形的相交图。请参阅本文的第4节：

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

顺便说一句，通过尝试了解几何相交图的行为，我对您的问题的类似版本感兴趣...

Schnyder定理指出，一个图是平面的，而其入射图元的维数最多为3。这已被Mendez扩展到任意简单复形（请参见“简单复形的几何实现”，图形图1999：323-332）。奇怪的是，有一篇更古老的论文，标题非常相似：“半单纯形复合体的几何实现”，但我怀疑它是在另一个主题上。

非常重要的性质：树宽对偶。

例如看：Frederic Mazoit的超图的树宽和表面二象性，

摘要如下：

Robertson和Seymour在Graph Minors III中写道：“似乎平面图的树宽与其几何对偶的树宽大致相等，实际上，我们已经说服自己，它们之间最多相差一个。” 他们从未对此提供证明。在本文中，我们证明了该陈述的一般化，可以将超图嵌入到一般曲面上，并且证明我们的边界是紧密的。

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Sur​​face_duality_journal.pdf