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平面图的哪些属性可以推广到更高维/超图?
甲平面图形是可以被嵌入在平面上,而无需跨越边缘的曲线图。 令是一个k均匀超图,即一个超图,其所有超边的大小都为k。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk 已经在将超图嵌入平面中(通过集群或其他应用程序的上下文)上进行了一些工作,但是通常,数据根本无法嵌入到平面中。解决的办法可能是强制它,但有一些损失,或者将其嵌入更高的维度,如我在这里建议的那样: 平面度的自然扩展(至少是IMO)是G的“ 简单嵌入”(它有一个已知的不同名称吗?):嵌入M:X → R k,使得存在连接的表面每个超边的所有顶点,除端点外,这些顶点不相交。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k (考虑一下2D中的模拟,其中每个表面都是可以绘制的边缘,但可以随意绘制)。 这是3均匀超图的有效3简单嵌入的示例。(每个顶点由包含在其中的超边缘着色,每个面代表一个超边缘)。 3个简单图的另一个示例是在5个顶点上的完整3一致超图。要查看此图像,只需在R 3中取4个不位于2D平面上的点,创建一个三角形金字塔(其凸包),然后将第五个点放置在金字塔的中心,将其连接到其他顶点。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同样,似乎在6个顶点上的完整3一致超图没有3简单嵌入。 平面图具有一些非常有用的属性,这些属性允许在平面图为平面时改进解决难题的算法。不幸的是,数据有时不是平面的,尽管有时它是低维的。我认为了解平面图的哪些特性可以帮助我们找出可以使用同一工具将哪些算法应用于更高维度。 一个有用的属性示例来自法里定理,该定理表明每个平面图都可以以其所有边缘均为直线段的方式嵌入。 kkk 还有其他可以概括的属性吗?例如,可以将平面图的欧拉公式以某种方式推广到更高的维度吗?(尽管目前我不确定它的含义是什么)。
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