减少是否应该使我们或多或少对问题的可处理性感到乐观？

在我看来，大多数复杂性理论家普遍相信以下哲学规则：

如果我们找不到解决问题的有效算法，并且可以将问题A简化为问题B，那么也可能没有解决问题B的高效算法。$A$$A$$B$$B$

例如，这就是为什么当一个新问题被证明为NP-Complete时，我们只是简单地认为它“太难了”，而不是对最终可能显示P = N P的新方法（问题）感到兴奋。$B$$P = NP$

我正在与另一个科学领域的研究生一起讨论这个问题。她发现这个想法非常违反直觉。她的比喻：

您是一位探险家，正在寻找北美和亚洲大陆之间的桥梁。许多个月以来，您一直尝试并没有找到从美国大陆地区到亚洲的陆桥。然后，您发现美国大陆通过陆地连接到阿拉斯加地区。您意识到，从阿拉斯加到亚洲的陆桥将意味着从美国大陆到亚洲的陆桥，您可以肯定不存在。因此，您不会浪费时间在阿拉斯加附近探索。你就回家

在这种情况下，我们以前的哲学规则听起来很愚蠢。我想不出一个很好的反驳！因此，我将其交给你们：为什么我们要把减法视为使问题B变得更难而不是使问题A变得更容易？$A \to B$$B$$A$

我认为这是一个很好的问题。要回答这个问题，我们需要意识到：

• 并非所有的减排量都是一样的，
• 要感到乐观，我们需要学习一些真正有用的东西。

通常，每当我们发现非平凡归约，它都属于以下类别之一：$A \to B$

1. 我们学到了一些有关问题A的有用信息（而关于问题B则没有任何帮助）。
2. 我们学到了一些关于问题B的令人沮丧的东西（而关于问题A的东西则没有）。

确切地说，这两种情况的特征如下：

1. 我们发现问题A具有某种隐藏的结构，这使得有可能设计一种新的聪明算法来解决问题A。我们只需要知道如何解决问题B。

2. 我们意识到，在某些特殊情况下，问题B基本上是变相中的问题A。现在我们可以看到，解决问题B的任何算法都必须至少正确地解决这些特殊情况。解决这些特殊情况实质上就等于解决问题A。我们回到正题了：要解决问题B取得任何进展，我们首先需要解决问题A取得一些进展。

在正面结果的背景下，减少1型的现象很普遍，这些无疑是乐观的好理由。

但是，如果考虑在NP硬度证明的情况下遇到的硬度降低，则它们几乎总是类型2。

请注意，即使您对问题A或问题B的计算复杂性一无所知，您仍然可以分辨出简化是类型1还是类型2。因此，我们无需相信，例如P≠NP确定我们应该感到乐观还是悲观。我们只能看到由于减少而学到的东西。

从类推中缺少的是所涉及的相对距离的一些概念。让我们用月亮来代替阿拉斯加：

您是一位探险家，正在寻找北美和亚洲大陆之间的桥梁。许多个月以来，您一直尝试并没有找到从美国大陆地区到亚洲的陆桥。然后，您发现美国大陆通过陆地连接到月球。您已经确信月亮与亚洲相距遥远，因此现在您可以确信，由于三角不等式，北美也距亚洲相距遥远。

我们总是将还原定理视为硬度陈述是不正确的。例如，在算法中，我们通常将问题简化为LP和SDP来解决。这些不是硬度结果，而是算法结果。但是，尽管从技术上讲它们是减少的量，但我们通常并不这样称呼它们。减少的意思通常是减少一些（NP-）难题。

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$。大多数研究人员发现P不等于NP的可能性更大，甚至可以推测SAT需要指数时间。换句话说，SAT被认为很难。如果您接受这些猜想，那么考虑减少问题证明NP问题普遍存在是完全合理的，因为该问题很难解决。（为什么研究人员发现P不等于NP的可能性更大，这是一个不同的问题，在理论博客上已有几篇有关此问题的博客文章。）

我们用通用性结果代替下界（即从类中的每个问题到问题的减少）的部分原因是我们未能证明良好的一般下界（这与当前的知识状态相一致） SAT可以在线性确定时间内求解）。

实际上，至少在最初，阿拉斯加的发现将产生相反的效果。由于延伸而遥远的西部，它会让人觉得，哎，也许是一个大陆桥，毕竟（比喻之中，嘿，也许P  =  NP，因为这个新的NP -完全问题看起来像这样一个很好的候选人具有多项式时间解）。但是，一旦对阿拉斯加进行了彻底的探索并且没有发现任何陆桥，人们可能会比以前更加相信亚洲和美洲是分开的。

该问题引入了一种专家很少使用的特定类比/隐喻，仅关注于P / NP且未提及任何其他复杂性类别，而专家则倾向于将其视为一个庞大的相互联系的实体世界，就像库珀伯格（Kuperberg）创建的引人注目的图表一样。编译大量复杂类的类比很整齐，有很多这样的类比。它谈论的是“被淘汰”的问题，这些问题被证明是NP的完成和“对新方法的兴奋”。

可以理解，发现NP完整类最初有“兴奋感”，但是经过四十年的努力证明P≠NP似乎并没有成功的前景，一些“兴奋感”消失了，有些研究人员认为我们离不近。历史上充满了许多研究人员，他们花了很多年的时间来研究问题，但是却没有任何进展，也没有明显的进展，有时会后悔。因此，NP complete可以充当（借用Aaronson的比喻）某种“电围栏”，这是警告/ 警告，不要太参与（难于解决的）问题（实际上，从不止一种方式）。

确实，“编目” NP完整问题的一个主要方面仍在继续。但是，有关关键NP完整问题（SAT，集团检测等）的大规模“细粒度”研究仍在继续。（实际上，发生不可预知的问题时也发生了非常相似的现象：一旦被证实无法确定，就好像它们被裁定为“无人之地”以待进一步调查。）

因此，就目前的理论而言，所有NP完全问题都被证明是等效的，这有时在诸如Berman-Hartmanis同构猜想之类的惊人猜想中得到证明。研究人员希望这种情况有一天会改变。

这个问题soft-question有充分的理由。您不会发现严肃的科学家在他们的论文中有太多讨论类推的论点，这些论点转向流行科学，而是更关注于数学的精确度/严谨性（并且正如该小组的交流指南所强调的那样）。但是，这里有一些与局外人/外行人进行教育和交流的价值。

这里有一些针对外行的“反类比”和“研究线索”。这可以做成更长的列表。

• 这个问题有一个地区的类比。但是考虑复杂性理论的主要领域更为有意义，包括在已知的terra incognita类中。换句话说，存在一个与NP相交的P区域。P和NP都被很好地理解，但是未知P NP硬区域（P与NP硬交叉）是否为空。

• 亚伦森（Aaronson）最近给出了两个明显不同类型的青蛙物种的比喻，它们从未混合用于P / NP。他还提到了两者之间的“隐形电围栏”。

• 粒子物理学研究标准模型。物理学研究粒子的组成，就像复杂性理论研究复杂性类别的组成一样。与复杂性理论一样，在物理学中，某些粒子如何产生其他粒子（“建立边界”）也存在一些不确定性。

• “复杂性动物园”，就像许多具有不同功能的外来动物一样，有些小/弱，有些大/强大。

• 在时间 / 空间层次定理中，复杂度类就像一个平滑的时间/空间连续体，在各个状态之间具有关键的“过渡点”（令人惊讶地非常类似于物理物质的相变）。

• 图灵机是具有“运动部件” 的机器，并且机器工作时等效于能量测量，并且它们具有时间/空间测量。因此，复杂度类可以看作是与黑盒输入输出转换相关的“能量”。

• 数学史上有许多可能的类似物，例如，对圆进行平方，寻找五次方程的代数解等问题。

• Impaggliazo的世界

• Fortnows的新书包含许多关于采矿的流行科学类比。

• 加密/解密：在第二次世界大战期间，图灵着名地研究了这一点，有关复杂性类别差异的许多定理证明似乎类似于解密问题。诸如Natural Proofs之类的论文使这一点更加坚实，其中复杂度类别的分离与“破坏”伪随机数生成器直接相关。

• 压缩/解压缩：不同的复杂度类别允许/表示不同数量的数据压缩。例如，假设P / poly包含NP。这意味着存在“较小”的实体（即电路）可以“编码”“较大的” NP完全问题，即可以将较大的（数据）结构有效地“压缩”为较小的（数据）结构。

• 沿着动物园/动物的类比，复杂性理论有很强的盲人和象方面。显然，该领域仍处于很长弧度的早期阶段（这对跨越数个世纪甚至几千年的其他数学领域来说，并不是不令人难以置信或闻所未闻的），并且很多知识可以看作是部分的，不相交的，并且支离破碎。

简而言之，问题是关于“与减少相关的乐观主义”的问题。科学家通常在进行纯粹的逻辑搜索时就避免出现情绪，甚至有时会嘲笑它们。该领域既有长期的悲观情绪，也有谨慎的乐观情绪之间的平衡；尽管存在一些非正式的空间，但所有认真的研究人员都应在工作态度上力求公正，这是工作描述的一部分。可以理解的是，人们只关注小规模的胜利和渐进主义，而不是被“带走”。