解决方案的独特性使其更易于查找的示例

37

复杂度类别由可以由最多具有一个接受计算路径的多项式时间不确定性图灵机确定的问题组成。也就是说，从这个意义上说，解决方案（如果有）是唯一的。它被认为是极不可能的，所有 -problems是，因为由雄豪-瓦齐拉尼定理，这将意味着崩溃。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

另一方面，没有问题被认为是，这表明唯一的解决方案要求仍然使它们更容易。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$

我正在寻找示例，其中唯一性假设导致更快的算法。

例如，查看图问题，如果我们知道图具有唯一的最大派系，是否可以更快地找到图中的最大派系（尽管可能仍在指数时间内）？独特的色性，独特的哈密顿路径，独特的最小支配集等如何？ $k$

在一般情况下，我们可以定义一个独特的解决方案版本，任何 -完整的问题，范围缩小到。对于他们中的任何人而言，是否都知道添加唯一性假设会导致算法更快？（允许它仍然保持指数。） $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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7

您的第一句话给出了UP的正确定义，但是您对UP的其余引用实际上应该改为PromiseUP（包括Valiant-Vazirani）。无论哪种方式，这都是一个非常有趣的问题。两个示例：1）分解是在UP中，并且比已知的NP完全问题具有更快的算法（但是分解也存在于coNP甚至coUP中，因此这里并不清楚唯一性是快速算法的基础。）2 ）Sodoku，按照传统的定义，位于PromiseUP中，但是我不知道有什么方法可以利用Sudoku解决方案中所承诺的独特性。

— Joshua Grochow 2014年

9

可以在时间

（arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf）中找到哈密顿路径数量的奇偶性，而最著名的决策问题算法则需要将近

时间。

{1.618}^{n}

$1.618^n$

2^{n}

$2^n$

— Alex Golovnev 2014年

8

这是量子计算的一个例子：考虑n个项目的搜索问题。如果您知道确切有1个标记的项目，则可以使用具有

查询。如果您不知道标记项目的数量，则任何精确的量子算法都需要

查询。

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

n

$n$

— 罗宾·科塔里

22

3-SAT可能是这样的问题之一。当前，唯一3-SAT的最佳上限比常规3-SAT的指数上限快。（加速是指数级的，尽管指数的减小很小。）独特案例的记录保持者是Timon Hertli撰写的这篇论文。

$k$ $k \geq 5$ $k$ $k$ $k = 3, 4$ $k$

$k$ $k$ $\delta < 1$ $n$ $k$ $O^*(2^{\delta n})$ $k \geq 3$ $k$ $k$ $k \geq 3, \epsilon > 0$ $k$ $O^*(2^{\epsilon n})$

$O^*$

— 安迪·德鲁克（Andy Drucker）
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1

“适用于独特的3-SAT”

\mapsto

$\: \mapsto \:$ “适用于独特的k-SAT”

$\;\;\;\;$

嗨，Ricky，我认为所写内容没有问题。关于Unique 3-SAT的最后断言可以在论文摘要中找到。

— Andy Drucker 2014年

k

$k$

$\hspace{1.58 in}$ 这只会让人感到困惑。

$\;$

16

最近由A. Bjorklund和T. Husfeldt 解决的无向图中最短的2顶点不相交路径问题（ICALP14）。但是确定性解决方案是针对存在唯一解决方案的情况。如果存在多个解决方案，则表明问题属于RP。正如该论文的作者所提到的，在一般情况下，问题是否出在P中是未知的。

— 赛义德
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3

谢谢，这很有趣。一般情况下，其中溶液不是唯一的，也是天然（或甚至实际）曲线图的问题，这是现在被证明是RP的一个很好的例子，但不是已知在P.

— 安德拉斯法拉戈

10

在复杂性理论和算法分析之外，只有一个解决方案的假设构成了用于推导数独难题的一些标准规则的基础。这些规则通常涉及寻找难题的某些部分可能具有不与难题的其余部分交互的两个或多个解决方案的方式。在实际解决方案中不会发生这种情况，因此，如果找到了可能导致这种情况的模式，则必须将其破坏，以使求解器可以推断出实际解决方案的外观约束。有关基于唯一性的演绎规则的一些示例，请参见http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp。

— 大卫·埃普斯坦
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9

$G$

唯一性假设意味着火腿数量的奇偶性。路径与确定图形是否为哈密顿量相同。

$O(1.619^n)$ $O^*(1.657^n)$ $O(n^22^n)$

— RB
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