是否有非建设性的图灵机/ NFA存在的证明？

在阅读了有关算法的非构造性存在证明的一个相关问题之后，我想知道是否存在不实际构建“小型”（例如，按状态计算）计算机的方法。

正式地：

假设我们给出了一些语言，并修正了一些计算模型（NFA的/图灵机/等）。 $L\subseteq \Sigma^*$

是否有示出任何非建设性存在结果为-state机存在，但没有发现（在能力时间）吗？ $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

例如，有没有正规语言为此我们可以显示，但我们不知道如何建立一个 -状态自动机？ $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

（是的非确定性状态复杂，即状态中的最小NFA接受数）。 $nsc(L)$ $L$ $L$

编辑：经过与Marzio的讨论（谢谢！），我认为我可以更好地提出如下问题：

是否有语言和以下内容适用的计算模型： $L$

我们知道如何构建计算具有个状态的的机器。 $L$ $m$

我们有证据表明 -各国机器存在（其中），但无论是我们根本无法找到它或它会带指数的时间来计算它。 $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— RB
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什么是nsc（L）？这个问题似乎与压缩/ Kolmogorov复杂性有关，它要求找到代表字符串的小型（最）机器...

— vzn 2014年

nsc（L）是L的不确定状态复杂度（接受L的最小NFA中的状态数）。

— RB

另一个想法/角度，也许有一些“小”电路类（另一种计算模型）可以证明它们可以计算某些功能，但实际构造很难？SJ 最近提到 Barrington thm，宽度5的分支程序可以计算多数...？

— vzn 2014年

@vzn Barrington定理的证明为将公式转换为分支程序提供了简单的过程。

— Sasho Nikolov 2014年

@RB：好的，您可以从资源受限的Kolmogorov复杂度（尤其是时间受限的复杂度）中找到更多有趣的示例。例如，给定一个字符串

，什么是最小的机器，在时间用完

，打印

？在这种情况下，我们可以轻松构建一个打印

的TM ，但是要找到最小的TM则需要扫描所有TM

（时间限制使其可计算）。当我有更多时间时，我将扩大答案。

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi 2014年

Answers:

仅带有简单示例的扩展注释；您可以选择一种元素的语言：

{大号}_{ķ} = {中号 ∣ σ （ 中号 ） = Σ （ ķ ）}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

也就是说，包含第一个（按字典顺序）忙碌的海狸图灵机，大小为（图灵机，大小为，在停止后，其磁带上的最大1s数）。 $L_k$ $k$ $k$

对于每一个语言是有规律的...但我们对如何构建小DFA识别它（尽管它只有不知道的状态）:-) $k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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虽然我同意它有效，但我一直在寻找显示明确给定语言L的技术的方法

— RB

什么是“明确给定的语言”？

— 杰夫·

语言（对于某些质数）可以通过一个识别 -state有界错误量子有限自动机（准财政活动），但证明是非建设性的。 $\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

对于已知的有界误差QFA ，最有建设性的已知状态数为。 $O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

— Abuzer Yakaryilmaz
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另一个解决方案是使用Higman引理：

在子词下关闭的语言是正常的。

随着的一个子字如果我们能得到通过删除一些字母。 $u$ $v$ $u$ $v$

因此，对于任何语言L，其子词闭合都是常规的，但由于L是任意的，因此根本不可构造。

— CP
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