简单证明Ω（n lg n）最坏情况下的唯一性/区别性？

元素唯一性/区别性问题的对数线性下限有多种证明（基于代数计算树或对抗参数），但我正在寻找一种足够简单的算法来用于算法分析和设计的第一门课程。与排序的下限相同的“难度级别”就可以了。同样，任何方法（例如，组合方法或基于信息论的方法）都可以。有什么建议么？

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— 马格努斯·利·赫特兰
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您要考虑哪种计算模型？如果项目是小整数，则可以通过排序来执行

。如果只能比较项的不等式，则似乎有一个

下界。从您要查找的答案中推断出这些项目是线性排序的，并且可以与<，=，>进行比较，但是没有其他操作可以进行比较吗？

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— 沃伦·舒迪

沃伦在他的评论中的问题是一个很好的呼吁。与此相关的是，大卫·埃普斯坦（David Eppstein）在另一个问题上的评论很有见地，他在谈到这种下界时强调了指定计算模型的重要性。顺便说一下，我不确定同时列出“代数计算树”（计算模型）和“对抗参数”（证明方法）是否有意义。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

非常好点。我在这里的应用程序是通过简化来说明硬度证明，例如通过从唯一性到排序（以及其他一些问题）的简化。因此，我假设与进行比较排序时使用相同的基本操作（以便简化操作）。（或者，我想，任何等同于带有实数的RAM的东西。）

— Magnus Lie Hetland 2010年

Answers:

仅使用<，=和>的任何唯一性证明（证明）都必须包括按排序顺序在每对相邻元素之间进行的比较。因此，任何差异性证书都会提供足够的信息来进行分类，因此，用于分类的标准信息理论下限也适用于任何确定性差异性算法。

— 沃伦·舒迪（Warren Schudy）
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此参数适用于比较树，但不适用于（直接）适用于更一般的决策树模型。

— 杰夫斯

杰夫：我同意。我怀疑对于Magnus的目的是否有足够简单的证据可以在更通用的模型中工作。

— 沃伦·舒迪

对。比较树适合我的应用程序-因此我想这与我要寻找的非常接近。我的应用程序是在解释硬度证明的概念，包括简化分类的过程，因此这里使用分类证明的事实有点使整个产品短路。我想我应该明确指出:-)

— Magnus Lie Hetland 2010年

我不确定我是否正确理解了这个问题，但是Dobkin和Lipton [DL79]的论证证明，在线性决策树模型中，n个数的唯一性问题需要Ω（n log n）比较，要容易得多。 Ben-Or [Ben83]的代数计算树模型（不足为奇）。

参考文献

[Ben83] Michael Ben-Or。代数计算树的下界。在对计算（STOC 1983）的理论第十五届ACM研讨会论文集，第80-86，1983年4月 http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin和Richard J. Lipton。关于不同原语集下计算的复杂性。 [计算机与系统科学，18（1）：86-91 2010年2月1979年 http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— 伊藤刚
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简而言之：考虑所有可能输入的空间R ^ n。正输入集为n！连接的组件，每个排列一个。另一方面，可以到达线性决策树中任何叶子的子集输入都是凸的，因此是连接的。因此，确定唯一性的任何线性决策树至少具有n！树叶。

— 杰夫斯

对于整数输入的特殊情况，需要一个更微妙的参数。参见Lubiw和Rács，“整数元素差异性问题的下限”，《信息与计算 1991》；或Yao，“具有整数输入的代数计算树的下界”，FOCS 1989

— Jeffε10年

@JeffE：您的简短解释很棒。也感谢您指出有趣的结果。在我看来，Ben-Or的下限不会立即适用于将输入限制为整数的情况！

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

杰夫：这些应该是答案！

— Suresh Venkat 2010年

感谢伊藤刚和JeffE。我以前见过R ^ n空间证明（在使用对抗性参数的设置中）。当我初读它时，我认为对于目标受众来说有点太复杂了，但我想可能并非如此。谢谢。（我也看过有关整数情况的论文–我想我在演讲中不会涉及到……：）

— Magnus Lie Hetland 2010年