不

11

表示由在最小的程度出来，并且通过的最小入度。 $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

在一个相关的问题，我所提到的Ghouila-霍利延伸狄拉克的哈密顿周期定理，这表明，如果则G为哈密顿量。 $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

赛义德（Saeed）在他的评论中评论了一个似乎更强大的扩展，只不过它要求图形必须紧密相连。

刚发布约30年后，强连通性被证明对Ghouila-Houri定理是多余的，我想知道Saeed提出的扩展是否也是如此。

所以问题是：

谁证明（任何人都可以找到参考），该意味着是哈密顿，鉴于强烈连接？ $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

是强大的连接冗余这里为好，即不暗示强的连接？ $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

（请注意，虽然显然必须将图牢固地联系起来才能使其成为哈密顿量，但我要问的是度数条件是否暗含了此条件）。

reference-request graph-theory

— RB
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8

我建议的变化实际上是Woodal定理的变化。也许我在Bang-Jensen和Gutin的书中看到了它。在我写评论时，我没有检查这本书的正确性。因此，请确保我写的图形应该紧密连接。顺便说一句，该陈述之所以成立，是因为可以将其解释为Woodal定理的特例。另外不需要强烈的连通性要求。

这是Bang-Jensen和Gutin书中的定理6.4.6 ：

让是为了有向图。如果所有对顶点的和使得没有来自弧到，那么是哈密尔顿。 $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

这意味着您对问题第二部分的回答也是。

怀疑是否是一个紧密边界。在这里我尝试回答。我们不能将至少的要求降低到，请考虑下图。构成双向三角形，构成双向。如果哈密尔顿循环从开始，则下一步不能转到，因为的唯一方法是使用但是是返回的唯一方法 $n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ 。另一方面，之后的哈密顿循环不能转到，因为通往的唯一是直接转到以便在下一步中使用，但是我们又处于先前的位置。从图片还可以看出，每个顶点的进出度至少为。因此，每两个任意输入输出的和至少为。我们可以将这类图扩展到任意。 $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

在此处输入图片说明

P.S1：确保上述定理适用于简单有向图。即无环或平行边的有向图。

P.S2：我现在没有一个好的Tex工具。因此图像不好。

— 赛义德
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3

当只有两个作者时，最好将他们称为“第一和第二”，而不是“第一等人”，这样他们才能获得应有的荣誉。等等。（“和其他”）仅应在完整的作者列表足够长而无法复制时使用。

— David Richerby 2014年

7

第二个问题的答案是肯定的：

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

$G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— 莫比乌斯饺子
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1

\geq n - 1

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving是的，看起来是这样。

— mobius饺子2014年

这让我想知道n-1是否足以满足汉密尔顿性。

— RB

@RB，不，这还不够。

— 2014年

1

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

4

这是@Mobius答案的扩展，以显示更强的主张：

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

证明：

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— RB
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