PARTITION的另一个变体

我将以下分区问题简化为某个调度问题：

输入：以非降序排列的正整数列表。 $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

问题：是否存在向量 $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ 这样

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

如果没有第二个条件，它只是PARTITION，因此是NP难的。但是第二个条件似乎提供了很多其他信息。我想知道是否有确定此变体的有效方法。还是很难？

cc.complexity-theory reference-request partition-problem subset-sum

— 托马斯·卡里诺夫斯基
source

这是从PARTITION到此问题的简化。令 $(a_1,\dots, a_n)$ 为PARTITION的实例。假设 $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ 。

令为“非常大的数字”，例如。考虑实例。 $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

如果有到PARTITION 的解决方案则是解决我们问题的一种方法。 $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
如果存在针对我们问题实例（将PARTITION的实例简化为）的解决方案），则。因此，也就是说，是对PARTITION的一种解决方案。 $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— 尤里
source

谢谢你Yury。在我的应用程序中，输入列表的降序排列是至关重要的，而减少中的输入则不是。我将修改问题以使订单要求更加明确。

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@thomas：我没注意到。现在，我更新了解决方案。

— 尤里2014年