近似#P难题

考虑经典的＃P-完全问题＃3SAT，即计算使3CNF与 $n$变量可以满足。我对加法近似性感兴趣。显然，有一个简单的算法可以实现$2^{n-1}$-错误，但是如果 $k<2^{n-1}$，是否可能有一个有效的近似算法，还是这个问题也是＃P-hard？

我们对＃3SAT的加法近似感兴趣。即给定一个3CNF$\phi$ 上 $n$ 变量计算满意的分配数量（称其为 $a$）直至附加误差 $k$。

这是一些基本结果：

情况1： $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

这里有一个确定性的多重时间算法： $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$。现在评估$\phi$ 上 $m$ 任意输入（例如，按字典顺序 $m$输入）。假设$\ell$ 这些输入满足 $\phi$。然后我们知道$a \geq \ell$ 因为至少有 $\ell$ 满意的任务和 $a \leq 2^n - (m-\ell)$ 因为至少有 $m-\ell$不满意的作业。这个间隔的长度是$2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$。所以如果我们输出中点$2^{n-1} -m/2 + \ell$ 这是在 $k$ 根据需要提供正确答案。

情况2： $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

这里我们有一个随机的多时间算法：评估 $\phi$ 在 $m$ 随机点 $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$。让$\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ 和 $\varepsilon = k/2^n$。我们输出$2^n \cdot \alpha$。为了这个最多有错误$k$ 我们需要

$$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$$ 相当于 $|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$由Chernoff边界， $$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$$ 如 $\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$。这意味着，如果我们选择$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$ （并确保 $m$ 是...的力量 $2$），那么至少有概率 $0.99$，错误最多 $k$。

情况3： $k=2^{cn + o(n)}$ 对于 $c < 1$

在这种情况下，问题是＃P-hard：我们将减少＃3SAT。参加3CNF$\psi$ 上 $m$变量。挑$n \geq m$ 这样 $k < 2^{n-m-1}$ -这需要 $n = O(m/(1-c))$。让$\phi=\psi$ 除了 $\phi$ 现在在 $n$ 变量，而不是 $m$。如果$\psi$ 已 $b$ 满足任务，然后 $\phi$ 已 $b \cdot 2^{n-m}$ 令人满意的作业 $n-m$“自由”变量可以在令人满意的分配中采用任何值。现在假设我们有$\hat{a}$ 这样 $|\hat{a}-a| \leq k$ - 那是 $\hat{a}$ 是满足以下条件的分配数量的近似值 $\phi$ 有附加误差 $k$。然后

$$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$$ 以来 $b$ 是整数，这意味着我们可以确定的确切值 $b$ 从 $\hat{a}$。通过算法确定的准确值$b$需要解决＃P-完全问题＃3SAT。这意味着它很难计算$\hat{a}$。

这是对Bordewich，Freedman，Lovász和Welsh的引用，在一定程度上发展了这个主题。