使用随机DFA分隔单词

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有关DFA的有趣的开放问题之一，关于DFA 是否还有任何未解决的问题？是DFA的大小所需的分开长度的两个字符串。我很好奇，是否有关于随机DFA分离两个给定（非随机）字符串的功能的结果。 $n$

显然，状态足够多的随机DFA很有可能会分隔字符串。具体地，如果，随机DFA与状态永远也不可能重新访问相同的状态，一旦达到所述第一位置和不同，并因此分离和。 $u,v \in \Sigma^n$ $O(n)$ $u$ $v$ $u$ $v$

我们可以做得更好吗？理想情况下，什么是最小 ST，一个随机DFA与状态中隔离长度的字符串阳性概率（或概率也许）？简短的搜索并没有得出很多有关随机DFA属性的结果；我只能找到http://arxiv.org/abs/1311.6830。 $f(n)$ $f(n)$ $n$ $\ge 1/2$

dfa random-graphs

— 杰弗里·欧文
source

正概率在这里并不是特别有用的条件，因为它只是对未解决问题的重述。高概率仍然可能很有趣。

— 2014年

1

“分离”是什么意思？接受一个，拒绝另一个？如果是这样，那么

状态是否足以满足要求？

O (n)

$O(n)$

— 2014年

是的，分隔意味着正好接受一个。您是对的：最琐碎的分离参数实际上需要

状态（我在上面写的是错误的），尽管如果不足以满足需求，我会感到惊讶。

O (n^{2})

$O(n^2)$

— 2014年

1

您难道不希望范围取决于单词之间的差异吗？似乎只有一个字母不同的单词会更难于随机区分，因为您需要在一个过渡中进行区分，而非常不同的单词会更容易。[概括地说，您可以忽略最长的公共前缀（从中可以达到随机状态）；然后，不同的字母会将您发送到相同状态或不同状态；然后，如果状态不同，则需要查看重新同步和保持同步的概率（再次取决于单词而开始）...]

— a3nm 2014年

是的，像开放性问题一样，我对最难区分的词语感兴趣。仅在几个地方不同的单词已经可以用

状态分开，因此它们不太可能是困难的情况。

O (\log n)

$O(\log n)$

— 2014年

Answers:

2

[编辑：此答案无效，请参阅注释。]

这只是一个非正式的想法，我不知道它是否有帮助，但是作为注释太长了。另外，我对随机DFA一点都不熟悉，所以也许我对您应该如何推断它们的概率有一个错误的直觉，但是希望这并非完全没有价值。

我会假设你的边界应该取决于有多少 $u$ 和差异。如果他们不这样做，似乎很明显，我认为最坏的情况是字符串只能通过他们的第一个字符不同（串在一组不同的位置有被告知除了比串在一组不同的机会多位置，我想说的是，尽早消除差异会为您提供重新同步的机会）。 $v$ $X$ $Y \subset X$

我还将研究单词被区分的可能性，即它们达到不同的状态。我猜您将需要根据您的随机DFA如何分配最终状态来适应被接受还是被拒绝。如果每个状态的最终概率为1/2，则当字符串以相同状态结束时，它们将不被区分；当字符串的状态为不同状态时，则它们被概率为1/2。

现在，我会考虑这个词从获得和如下：，如果和 $w$ $u$ $v$ $w_i = 1$ $u_i = v_i$ $w_i = 0$ ，否则。我认为很明显是关于和唯一值得考虑的事情。 $w$ $u$ $v$

现在，定义的概率，我们是在相同的状态读取长度的前缀后的和，以及 $p(i)$ $i$ $u$ $v$ 则不是。 $q(i) = 1 - p(i)$

我认为当为时，我们有。直观地说，我们在相同的状态看完之后字母或者当我们阅读后，在相同的状态，或者当我们在两个不同的（随机）状态，我们画了两个过渡到随机状态，他们碰巧是同一个人。同样，我们有 $p(i+1) = p(i) + q(i)/n$ $w_{i+1}$ $1$ $i+1$ $i$ 当为：无论从何处开始，您都将绘制两个随机状态。 $p(i+1) = 1/n$ $w_{i+1}$ $0$

据此，我认为您可以在读取和之后计算出处于相同状态的概率。 $u$ $v$

— 3纳米
source

不幸的是，显然

是

和

唯一有趣的属性。看到这一点的最简单方法是，将任何非平凡

与

区别开来的概率很零。实际上，无论

为何，只有两个状态就足够了。但是，如arxiv.org/pdf/1103.4513.pdf中所述，存在长度为

st no

单词

w

$w$

u

$u$

v

$v$

w

$w$

0^{n}

$0^n$

n

$n$

u, v

$u,v$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$ DFA可以区分。这与

公式矛盾

p (i)

$p(i)$ 。

— 2014年

1

需要说明的是，如果DFA转换是字符串索引的随机函数，则您的公式将是正确的；由于它们与索引无关，因此概率以相当复杂的方式关联。

— 2014年

恐怕我不明白你的反例。有一个

prba，具有两个状态，分别区分

和

，好；也许有些长度为

单词无法与

状态区分开。但这与我声称

是唯一重要的东西或我的

公式相矛盾？

> 0

$>0$

0^{n}

$0^n$

w \neq 0^{n}

$w \neq 0^n$

n

$n$

o (\log n)

$o(\log n)$

w

$w$

p (i)

$p(i)$ 有何？至于相关性，我发现您提到的可能有很多类似之处，但我还不明白为什么它会完全失败。如果您两次经历相同的状态，则存在相关性，但是是否有理由认为它会平均影响某个方向？

— a3nm

如果

，则将

和

区分为正概率。但是，对于足够大的

和少量的状态，我们知道对于某些

和

。由于您的公式暗示如果

则

p (n) < 1

$p(n) < 1$

u

$u$

v

$v$

n

$n$

p (n) = 1

$p(n) = 1$

u

$u$

v

$v$

p (i) < 1

$p(i) < 1$

，您的公式没有捕捉到某些

和

无法区分的事实。

p (i + 1) = p (i) + (1 - p (i)) / n = p (i) (1 - 1 / n) + 1 / n < 1

$p(i+1) = p(i) + (1-p(i))/n = p(i)(1-1/n)+1/n < 1$

u

$u$

v

$v$

— 2014年

啊...对，我明白。如果没有小的DFA可以区分两个单词，那么任何一个随机 DFA都不能区分它们。因此，我的方法确实存在问题，因为这些相关性，似乎

最终应降至零的概率。抱歉，提供的答案不正确。

q (i)

$q(i)$

— 2014年

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