计数图内同态的复杂性

甲同态从图中$G = (V, E)$ 到图 $G' = (V', E')$ 是一个映射 $f$ 从 $V$ 至 $V'$ 这样，如果 $x$ 和 $y$ 在附近 $E$ 然后 $f(x)$ 和 $f(y)$ 在附近 $E'$。一个自同态的曲线图的$G$ 是来自的同态 $G$本身 如果没有，它是无定点的$x$ 这样 $f(x) = x$如果不是身份，这是不平凡的。

我最近问了一个与位姿（和图）自同构有关的问题，即双射内同构，其反过来也是内同构。我发现了有关计数（并确定是否存在）同态的相关工作，但搜索找不到与同形有关的任何结果。

因此，我的问题是：给定图表，复杂度是多少$G$，决定是否存在一个非平凡的内同态 $G$，或计算同构数目？无定点无内同态的相同问题。

我认为此答案中给出的论点扩展到内同态，并证明有向二部图或位姿的情况并不比一般图的问题容易（一般图的问题减少到这种情况），但它的复杂性没有似乎很容易确定。众所周知，确定从一个图到另一个图是否存在同态性是NP难的（这很容易理解，因为它概括了图的颜色），但是似乎将搜索范围限制为从图到其自身的同态性可能会使问题变得更容易，因此，这无助于我确定这些问题的复杂性。

完成对内态或无定点内态的计数 $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$：给出一个连接图 $G$，考虑图 $G'$ 这是不相交的联合 $G$和一个三角形。然后$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$，所以 $\# 3COL$可以使用两个内同态计数（一般结果，甚至只有一个就可以）和一些多时间后处理来计算。请注意，三角形的数量可以用三次（甚至矩阵乘法）时间来计数。对于定点自由内态，该方程也成立，因为3色和三角形是的无定点内态。$G'$。

如果你愿意 $G'$要连接，可以执行以下操作。首先要注意的是计算顶点彩色图的同态性（其中颜色的顶点$c$ 只能映射到其他颜色的顶点 $c$）等效于计算图的同构，如下所示。让颜色成为$\{1,...,C\}$。对于每个顶点$v$ 颜色 $c$，添加一个新的不相交的奇数周期$C_v$ 大小至少 $n + 2c$ （$n=|V(G)|$），并连接一个顶点 $C_v$ 至 $v$。的每个同态$G$ 对应于 $2^n$新图的同构（对于每个循环，您都有两种选择方式来映射它）。请注意，没有的顶点$G$ 可以映射到任何顶点 $C_v$，因为周期太大（您必须能够将一个周期放入另一个周期，而对于奇数周期则不能）。

现在，制作一个 $G'$连接起来，我们从彩色版本开始，然后应用上面的转换。通过添加到$G$ 不相交的三角形 $\Delta$。现在添加一个新的顶点$v_0$ 连接到每个顶点 $G \cup \Delta$。颜色$v_0$ 红色，所有其他顶点为蓝色。