随机限制以及与布尔函数的总影响的关系

说我们有一个布尔函数 $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ 我们申请 $\delta$-随机限制 $f$。另外，说决策树$T$ 计算 $f$ 缩小到大小 $O(1)$由于随机限制。这是否意味着$f$ 总影响力很低？

索赔：如果$\delta$的-随机限制 $f$ 有大小的决策树 $O(1)$ （预期），那么此类 $f$ 是 $O(\delta^{-1})$。

证明草图： 根据影响的定义，我们有 $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$。首先应用限制，然后在其余坐标中选取，然后固定为上限将以外的所有内容随机化。$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

现在，如果 restriction将的决策树减小到大小，则特别是的 restriction 取决于协调的。现在让我们选择一个随机的不固定坐标（在），并随机地固定所有其他坐标。由于的 restriction 最多取决于坐标，因此我们得到的函数（一个位）在最大概率上不是恒定的。因此，根据需要。$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

备注：上面的主张是通过对位采用奇偶校验函数来实现的。$O(1/\delta)$