近似硬度-加法误差

有大量文献，至少有一本非常好的书，列出了在乘法误差（例如，假设UGC的情况下，顶点覆盖率的2近似是最佳的）下NP困难问题的近似结果的已知硬度。这还包括众所周知的近似复杂度类，例如APX，PTAS等。

当考虑加法误差时，已知​​什么？文献搜索显示了一些上限类型的结果，尤其是对于装箱而言（请参阅例如http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps），但是有更全面的复杂性类别分类，还是有原因使其不那么有趣或没有意义？

作为进一步的评论，例如，对于箱装箱，据我所知，尚无理论上的原因，为什么找不到一直处于距最佳值1的加法距离之内的多边形时间算法（尽管我有待纠正） ）。这样的算法会否使任何复杂度类别崩溃或具有任何其他重要的理论连锁效应？

编辑：我没有使用的关键词是“渐近逼近类”（感谢Oleksandr）。似乎在这一领域有一些工作，但是还没有达到与经典逼近类理论相同的成熟阶段。

这个问题有些悬而未决，所以我认为不能完全解决。这是部分答案。

一个简单的观察结果是，当我们考虑加法逼近时，许多问题都变得无趣。例如，传统上，Max-3SAT问题的目标函数是满足子句的数量。在此公式中，在O（1）加性误差内逼近Max-3SAT等同于精确求解Max-3SAT，这仅仅是因为可以通过多次复制输入公式来缩放目标函数。对于此类问题，乘法逼近更为重要。

[编辑：在较早的修订版中，我在上段中以独立集为例，但是由于独立集不是说明乘法近似和加法近似之间差异的好例子，因此我将其更改为Max-3SAT。即使在O（1）乘积因子内逼近独立集也是NP-hard。实际上，Håstad[Has99]显示了独立集的更强逼近度。

但是，正如您所说，加法逼近对于诸如装箱装箱之类的问题很有趣，在这种情况下我们无法缩放目标函数。此外，我们经常可以重新制定问题，以使加法近似变得有趣。

例如，如果将Max-3SAT的目标函数重新定义为满足子句数与子句总数之比（有时这样做），则加法逼近会变得很有趣。在此设置下，加法逼近并不比乘法逼近难，因为在这种情况下，乘积误差1- ε（0 < ε <1）内的逼近度意味着加法误差ε内的逼近度，因为最佳值始终为1。

一个有趣的事实（不幸的是，这一事实似乎经常被忽略）是许多不近似结果证明了某些缺口问题的NP完全性这并不仅仅取决于乘法近似的NP硬度（另请参见Petrank [Pet94]和Goldreich [Gol05，第3节]）。继续以Max-3SAT为例，Håstad[Has01]的一个众所周知的结果是，在优于7/8的恒定乘数内近似Max-3SAT是NP难的。单单这个结果似乎并不意味着在一个恒定的加法误差范围内超过某个阈值就很难近似Max-3SAT的比率版本。但是，Håstad[Has01]证明的要比单纯的乘法不可近似性强：他证明了以下承诺问题对于每个常数7/8 < s <1 都是NP完全的：

Gap-3SAT _的
实例：CNF公式φ，其中每个子句恰好包含三个不同的变量。
是的承诺：φ是可以满足的。
无承诺：没有真值分配满足φ子句的s分数。

由此，我们可以得出结论，在相加误差大于1/8的情况下，近似Max-3SAT的比率版本是NP难的。另一方面，通常的简单随机分配在加法误差1/8内给出了近似值。因此，Håstad[Has01]的结果不仅给出了针对该问题的最佳乘法不可近似性，而且还给出了最佳加法不可近似性。我猜想有许多类似这样的加法不可逼近性结果，这些结果在文献中并未明确出现。

参考文献

[Gol05] Oded Goldreich。关于承诺问题（为纪念Shimon Even [1935-2004]而进行的一项调查）。 电子座谈会上的计算复杂性，报告TR05-018 2010年2月2005年 http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] JohanHåstad。派系很难在n ^{1− ε}内近似。 数学学报，182（1）：105-142，1999年3月。http ://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01]约翰·霍斯塔德（JohanHåstad）。一些最佳的不可近似性结果。 ACM学报，48（4）：798-859，2001年7月 http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Erez Petrank。近似硬度：间隙位置。 计算复杂性，4（2）：133-157，1994年4月 http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286

这是部分答案

$ABS$$ABS$

$NP$

-每个三次图形在多项式时间内都是边4色的，但是边3色是NP硬的。

$ABS$$P=NP$

最近有关于渐近逼近类及其与经典对应类的比较的工作。

Erik Jan van Leeuwen和Jan van Leeuwen。多项式时间近似的结构。技术报告UU-CS-2009-034。2009年12月。