禁止诱导循环子图定义的图类中的多项式问题

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从MO交叉发布。

令为由有限数量的禁止诱导子图定义的图类，所有这些子图都是循环的（至少包含一个循环）。 $C$

除了Clique和Clique Coverage之外，对于，是否存在可以在多项式时间内解决的NP硬图问题 $C$ ？

如果我没记错的话，这对于独立集是不可能的（除非 $P=NP$ ）。

未在graphclasses.org中搜索。

Clique和Clique Covering是多项式的类是C5，C6，X164，X165，sunlet4，无三角形

编辑

阴性IS和统治在本文中。第2页，图 $S_{i,j,k}$ 。

— 柔罗
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在斯蒂芬Kratsch，帕斯卡施韦泽，图同构对由两个特征的图类禁止诱导子图：GI是多项式时间（平凡）可解为

图，而且（较少平凡）为

图。

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi

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也许也最好在MO交叉发布上注意这个问题，如果有兴趣的人，他们可能希望在这里查看答案/评论。

— RB

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@MarzioDeBiasi，为什么不回复您的评论？

— 2014年

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我认为对于无三角形的图形，许多难题变得容易解决。尤其是那些直接处理三角形的对象，例如“划分成三角形”（G是否有划分成三角形的部分？）。其他较简单的示例包括：

割线稳定问题（G是否有独立的S使得GS断开连接？）。请参见：关于图形中的稳定sutset，请参见“ 离散应用数学”。105（2000）39-50。
交集图基础（G是否为k元素地面集的子集的交集图？）。请参阅：问题[GT59]，位于：Garey＆Johnson，《计算机与顽固性：NP完全性理论指南》。

— 星期一标签
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以下是Mon Tag的答案的其他示例：

Disconnected Cutset问题（是否接受一组顶点使得和由诱导的的子图被断开）是NP完全的（请参见此处）。不难看出，对于无三角形的图形，该问题可以多项式求解（因此，Mon Tag也提到了“稳定割集”问题）。 $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
识别三角形线图是NP完全的（请参见此处），对于无三角形的输入图，这个问题在多项式上也很容易看出。
计算最大的已连接匹配非常困难（请参阅此处。如果对于任意一对匹配边，图的另一个边都入射到这两个匹配边，则将连接匹配）。可以证明，对于无图，该问题是多项式可解的。 $(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
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谢谢。因此，有些问题仍然很难解决，而其他问题则没有。

— joro 2014年

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从上面的注释：在斯蒂芬Kratsch，帕斯卡施韦泽，图同构对由两个禁止诱导子图特征的图类：GI是多项式时间（平凡）可解为图，而且（较少平凡）对于图。 $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

编辑：如评论中所述，不包含循环（我太快地阅读了论文的介绍）。 $K_{1,t}$

在考虑了一下之后，似乎很容易证明以下内容（原始的？）：

否定结果： 对于每个有限集合，其中每个包含限制对类循环，图同构（GI）的问题的图是GI-完成。 $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

证明：固定的一类图表，其中每个包含一个周期，并给予，让是最长周期的长度 s。替换每个边缘的与长度的路径 $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ 加入新节点（参见下图）。通过构造新的曲线图是确实可能的最短周期是那些由必须具有长度的三角形形成 $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; 并且很容易证明它们是同构的，当且仅当原始是同构的。 $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

在此处输入图片说明
图：图在左侧，和等效图右侧（假设的最长周期具有长度，所以每个边都替换为长度为的路径。 $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

我们还可以将负面结果扩展到哈密顿循环NPC问题，的确是以下结果的直接推论（原始结果）：

定理：对于任何，汉密尔顿的周期问题仍然存在，即使我们在图表NP完全不包含长度的周期。 $k \geq 3$ $G$ $\leq k$

证明我们知道，哈密顿周期问题是NPC甚至在平面向图与每个节点满足：（Papdimitriou和瓦齐拉尼，关于两个与旅行商问题相关的几何问题。我们可以将图转换为无向图只需在节点的传入边缘上添加一个具有的节点即可。 $G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ ，以及节点的传出边缘具有。然后，我们可以用下图的小工具替换的节点。显而易见，只有两个有效的遍历（之字形 $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ ），只需一次访问小工具的每个节点（图中的红色和绿色路径）：不能从上到下遍历小工具，否则将切掉水平（传入或传出）路径。此外，我们可以放置在小工具的垂直/水平段足够的节点，并延长其曲折的数量，以确保没有长度的周期有可能在小工具或在3只小工具连接在一起的三角形。这确保了，如果所得图形具有汉密尔顿周期，则原始图形也具有汉密尔顿周期（通过小工具的构造，反之亦然）。 $\geq k$ $G''$ $G$

在此处输入图片说明

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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K_{1, t}

$K_{1,t}$

你是对的！我想出了一个负面结果...看看它是否可以工作，或者是完全错误的：-S：-S

— Marzio De Biasi 2014年

谢谢。那么，您是否认为GI和哈密顿循环的结果是负面的？

— joro 2014年

希望这是正确的，这将解决graphclasses.org未知的许多问题。

— joro

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(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

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MAX-CUT保持NP完整。

在以下两类图中，引理3.2简单的最大割是NP完全的：

$k$ $k \ge 3$

他们将边缘细分了两次。

摘自“图的MAX-CUT和包含关系，Marcin Kaminski”

— 柔罗
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但是您要求在多项式时间内解决问题，对吗？

— Peng O

@PengO确实是，但是这是负面结果，因此不可能是多项式。另一个答案也显示出负面结果。

— joro 2014年