主导集问题是否限于最大3 NP-完全的平面二部图？

有谁知道关于图的DOMINATING SET问题的NP完全性结果，仅限于最大二阶平面二部图的类？

我知道对于最大度数为3的平面图（请参见Garey和Johnson书籍）以及最大度数为3的二部图（请参阅M.Chlebík和J.Chlebíková，“近似硬度为在有界度图中控制集合问题”），但在文献中找不到两者的结合。

如果您仅执行以下操作怎么办：给定一个图，通过将每个边分成4个部分，构造另一个图；这里是我们引入的新节点的集合，。ģ ' = （V ∪ ü ，ê '）ģ ù | U | = 3 | E $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

曲线是二分的。而且，如果是平面并且具有最大值。角度3，则也是平面的，并且具有最大值。学位3。 G ^ g ^ $G'$$G$$G'$

令为的（最小）控制集。考虑中的一条边它在细分为一条路径。现在显然中至少有一个在。此外，如果的中有多个，我们可以修改，使其保留为有效的主导集，并且其大小不会增加。例如，如果我们有和，我们同样可以从删除并将添加到ģ '（X ，ÿ ）∈ È （X ，一个，b ，c ^ ，ÿ ）ģ '一个，b ，c ^ d '一个，b ，c ^ d ' d '一个∈ d ' ç ∈ d ' Ç d ' y D ' | d ' ∩ ü | $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$。因此，我们有。$|D' \cap U| = |E|$

然后考虑。假设和。那么我们必须有一个节点使得。因此有一个边因此我们在有一条路径。由于和，我们有，并且要支配我们必须有。因此，在节点中是与的邻居。也就是说，X ∈ V X ∉ d '一个∈ d '（X ，一）∈ Ë '（X ，ÿ ）∈ È （X ，一个，b ，c ^ ，ÿ ）ģ '一个，b ，c ^ ∈ ü 一个∈ d ' b ，ç ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ Ç ÿ ∈ d ' G ^ ý X ý ∈ d d $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$是的主导集。$G$

相反地，考虑一个（最小）支配集为。为构造一个控制集，使得如下：对于一个边缘其被细分，以形成通道中我们添加至如果和 ; 如果和，我们将添加到；否则我们将添加到。现在可以检查g ^ d ' 摹' | D ' | = | D | + | E | （X ，ÿ ）∈ È （X ，一个，b ，c ^ ，ÿ ）ģ '一个d ' X ∉ d ý ∈ d Ç d ' X ∈ d ý ∉ d b d ' d $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$是的支配集：通过构造，中的所有节点均支配。现在让。然后有一个使得，因此沿着路径我们有，它主导。 ü X ∈ V ∖ d ' Ý ∈ V （X ，ÿ ）∈ È （X ，一个，b ，c ^ ，ÿ ）一个∈ d '$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

总之，如果具有大小为的主导集，则具有最大为的主导集。，并且如果具有大小为的主要集合。，那么最多具有的主导集。ķ ģ ' ķ + | E | ģ ' ķ + | E | 摹$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

编辑：添加了一个插图。顶部：原始图形；中间：具有“归一化”支配集的图；底部：具有任意支配集的图。ģ ' ģ $G$$G'$$G'$