是什么将有界树宽图上的简单全局问题与硬全局问题区分开来的？

18

在有界树宽图上的多项式时间内可以解决许多硬图问题。确实，教科书通常以独立集为例，这是一个局部问题。大致而言，局部问题是可以通过检查每个顶点的一些小邻域来验证其解决方案的问题。

有趣的是，对于有界的树宽图，即使是全局性的问题（例如汉密尔顿路径）也可以有效地解决。对于此类问题，常规的动态编程算法必须跟踪解决方案可以遍历树分解的相应分隔符的所有方式（例如，参见[1]）。在[1]中给出了随机算法（基于所谓的cut'n'count），在[2]中开发了改进的（甚至是确定性的）算法。

我不知道可以这么说，但对于有界树宽图，至少可以有效地解决一些全局问题。那么在这些图表上仍然很难解决的问题呢？我假设它们也是全球性的，但是还有什么呢？是什么将这些棘手的全球性问题与可以有效解决的全球性问题区分开来？例如，为什么已知方法无法为我们提供有效的算法，为什么？

例如，可以考虑以下问题：

边缘预着色扩展给定具有某些边缘着色的图 $G$ ，请确定是否可以将此着色扩展为图的适当边缘着色。 $k$ $G$

边缘预着色扩展（及其列表边缘着色变体）对于二部串平行图[3]（此类图的树宽最多2）是NP完整的。

最小总和边缘着色给定一个图，找到一个边缘着色使得如果和具有共同的顶点，则。目的是最小化着色总和。 $G=(V,E)$ $\chi : E \to \mathbb{N}$ $e_1$ $e_2$ $\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$ $E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

换句话说，我们必须将正整数分配给图的边，以使相邻边接收不同的整数，并且分配的数字之和最小。对于部分2树[4]（即树宽图最多2个），这个问题是NP难的。

其他此类难题包括边缘不相交路径问题，子图同构问题和带宽问题（例如，参见[5]及其参考文献）。对于即使在树木上仍然难以解决的问题，请参见此问题。

[1] Cygan，M.，Nederlof，J.，Pilipczuk，M.，van Rooij，JM和Wojtaszczyk，JO（2011年10月）。解决在单个指数时间内由树宽参数化的连接问题。在计算机科学基金会（FOCS），2011 IEEE第52届年度研讨会上（pp。150-159）。IEEE。

[2] Bodlaender，HL，Cygan，M.，Kratsch，S.，＆Nederlof，J.（2013）。确定性单指数时间算法，用于由树宽参数化的连接性问题。在《自动机，语言和程序设计》（第196-207页）中。施普林格·柏林·海德堡。

[3] Marx，D.（2005）。平面图边缘上的列表着色和预着色扩展的NP完整性。图论杂志，49（4），313-324。

[4] 马克思，D。（2009）。复杂性导致最小的求和边缘着色。离散应用数学，157（5），1034-1045。

[5] Nishizeki，T.，Vygen，J.，＆Zhou，X.（2001）。边不相交的路径问题对于串并联图是NP完全的。离散应用数学，115（1），177-186。

graph-theory graph-algorithms treewidth

— Juho
source

有点类似于随机3-SAT的树宽和实例硬度之间的相关性是什么？引用了Gaspers / Szieder的有力树宽SAT的强大后门

— vzn 2014年

16

用于有界树宽图的大多数算法都是基于某种形式的动态编程。为了使这些算法有效，我们需要限制动态编程表中的状态数：如果您想要多项式时间算法，那么您就需要一个多项式状态数（例如n ^ tw）。如果表明问题是FPT，通常要表明状态数是树宽的某种函数。当在一些小的分隔符处破坏图时，状态的数量通常对应于不同类型的部分解的数量。因此，有界树宽图上的问题通常很容易，因为通过有限数量的顶点与外部世界交互的部分解只有有限数量的类型。例如，在独立集问题中，部分解的类型仅取决于选择哪个边界顶点。在哈密顿循环问题中，部分解决方案的类型通过部分解决方案的子路径与边界的顶点彼此匹配的方式来描述。Courcelle定理的变体为问题提供了充分的条件，使其具有以下性质：部分解只有有限数量的类型。

如果问题在有界树宽图上很难解决，则通常是由于以下三个原因之一。

图中没有捕获问题中的交互。例如，直观地讲，Steiner Forest在树宽3的图中是NP难的，因为源－目标对在非相邻顶点之间创建了交互。

伊丽莎白·加斯纳（Elisabeth Gassner）：重新审视了斯坦纳森林问题。J.离散算法8（2）：154-163（2010）

MohammadHossein Bateni，Mohammad Taghi Hajiaghayi，Daniel Marx：平面图和有界树宽图上Steiner Forest的近似方案。J.ACM 58（5）：21（2011）

该问题在图的边缘上定义。然后，即使图的一部分通过一定数量的顶点连接到图的其余部分，也可能有许多边入射到这几个顶点，然后只能通过描述图的状态来描述部分解的状态。所有这些边缘。这就是使[3,4]中的问题变得困难的原因。
每个顶点可以具有大量不同的状态。例如，直观地说，电容式顶点覆盖是用树宽参数化的W [1]-硬性，因为部分解决方案的描述不仅涉及声明分隔符的哪个顶点被选中，而且还陈述了分隔符的每个选定顶点被选中了多少次。用于覆盖边缘。

迈克尔·唐（Michael Dom），丹尼尔·洛什塔诺夫（Daniel Lokshtanov），萨凯特·索拉卜（Saket Saurabh），恩格·维兰格（Yngve Villanger）：能力控制和掩盖：参数化视角。IWPEC 2008：78-90

— 丹尼尔·马克思
source

3

关于问题2：问题是在图的边缘定义的：但是对于有界树宽，Courcelle定理允许对边缘集进行量化，而不仅仅是顶点集。因此，如果每个边缘只有有限数量的状态，那不是障碍。

— David Eppstein 2014年

3

@DavidEppstein存在使用库尔切尔定理很难表达的边缘定义问题。例如，打包某个固定图的边缘不相交的副本就是这样的问题，但是顶点不相交的版本可以表示为找到一个子图，其中每个分量对固定图都是同构的。此外，边缘定义的问题可能会对顶点产生约束（例如，最多选择了每个顶点的一半边缘），尽管您可以将其归类为原因3（每个顶点有大量状态）。

— 丹尼尔·马克思

10

我的建议是仔细研究Courcelle定理，即在通过树宽进行参数化时，单峰二阶逻辑（某些扩展）中可表达的问题具有FPT算法。我怀疑这涵盖了这些图的FPT问题的许多或大多数已知示例。按照这种观点，您的本地/全局区别似乎与存在的MSO中可表达的问题与MSO公式化中具有较高量化水平的问题之间的区别密切相关。回到您的实际问题，缺少MSO公式（可以在许多情况下使用与Myhill-Nerode定理有关的思想无条件证明这一事实）将证明缺乏FPT算法（如果没有复杂性理论假设，则很难证明）。

— 大卫·埃普斯坦
source

5

我认为这样的例子之一是最稀疏的切割问题。均匀稀疏切割问题在有界树宽图上可以解决，但加权稀疏切割问题在有界树宽图上甚至不是近似值（大于17/16）。

稀疏切割问题有许多不同的变体，但是一种众所周知的变体如下。

$G=(V,E)$ $w:E(G)\rightarrow N$ $E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$ $S \subset V$ $\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$ $E'\subseteq E(G)$ $W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

主要成分由两部分组成：

其他功能，例如此处的重量功能。但是权重函数仍然存在一些问题，这些问题在有界树宽的无向图中很难解决。
最稀疏的切割问题的性质。实际上，在问题的定义中对动态编程存在多个依赖关系。直观地讲，好的解决方案是将图形（通过去除一些边线）划分为两个几乎相等的大小，另一方面，在此分区中，我们删除使用的边数最少。有界树宽图中的问题很难解决的原因是，我们应该在两个方向上应用动态编程，但是两个方向都相互依赖。

通常，如果问题以这样的方式进行，则动态编程需要一个以上的维度，并且这些维度也相互依赖，那么问题就可能在有界树宽的图中变得困难。我们可以在问题的两个问题以及最稀疏的切割问题中看到这种模式。（在第一个问题中，我们要保持先前的着色，而另一方面，使着色尽可能小，在第二个问题中，显然有两个函数是相互依赖的）

— 赛义德
source