没有有限模型的一阶可满足性

从丘奇定理我们知道确定一阶可满足性通常是不确定的，但是可以使用多种技术来确定一阶可满足性。最明显的是搜索有限模型。但是，一阶逻辑中有许多语句可以证明没有有限模型。例如，单射和非单射函数在其中运行的任何域都是无限的。

在没有有限模型或未知有限模型的情况下，我们如何证明一阶语句的可满足性？在自动定理证明中，我们可以通过几种方式确定可满足性：

1. 我们可以否定句子，并寻找矛盾。如果找到一个，我们证明该语句的一阶有效性，从而证明其可满足性。
2. 我们将饱和度与分辨率结合使用，并且没有推断。通常，我们会有无数的推断，因此这是不可靠的。
3. 我们可以使用强迫，它假设模型的存在以及理论的一致性。

我不知道有人将强迫作为一种自动定理证明的机械化技术来实现，而且看起来并不容易，但是我对它是否已经完成或尝试过很感兴趣，因为它被用来证明许多陈述的独立性在集合论中，它本身没有有限的模型。

是否存在其他可用于自动推理的搜索一阶可满足性的已知技术，或者有人在研究自动强制算法？

这是Brock-Nannestad和Schürmann的有趣方法：

真实的单子抽象

这个想法是通过“忘记”一些参数来尝试将一阶句子转换为单子一阶逻辑。当然翻译是不完整的：有些一致的句子在翻译后变得不一致。

但是，单子一阶逻辑是可确定的。因此，可以验证翻译是否正确$\overline F$ 公式的 $F$ 是一致的：

可以通过决策程序检查，并暗示

这意味着 $F$ 根据完备性定理有一个模型。

这个主题可以更普遍地应用：确定问题的决定性子逻辑，然后以保留真理的方式将问题转化为问题。特别是像Z3这样的现代SMT求解器在证明带有量词的公式的可满足性方面非常出色（默认情况下$\Sigma^0_1$，但在 $\Pi^0_2$ 公式）。

目前，强制似乎远远超出了自动化方法的范围。