对于随机Oracle R，BPP是否等于P ^ R中可计算语言的集合？

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好吧，标题几乎说明了一切。上面一个有趣的问题是评论员Jay在我的博客上提出的（请参阅此处和此处）。我猜测答案是肯定的，并且有一个相对简单的证明，但我无法立即看到它。（不过，很粗略地讲，可以尝试证明，如果中的语言不在，则它必须与拥有无限的算法互信息，在这种情况下，它是不可计算的。另外，请注意一个方向是微不足道的：的可计算语言肯定包含） $P^R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $BPP$

请注意，我并不是在问类AlmostP，它由几乎每个都在的那些语言组成（众所周知，它等于）。在这个问题中，我们首先修复，然后查看的可计算语言集。在另一方面，人们可以尝试表明，如果在一个语言是可计算，即使对于一个固定的随机预言，则事实上该语言必须在。 $P^R$ $R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $P^R$ $R$ $AlmostP$

一个密切相关的问题是，对于随机预言，概率为1时，我们是否 $R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

如果是这样，那么我们得到以下有趣的结果：如果，那么在随机预言上的概率为1 ，唯一见证预言分离的语言是不可计算的语言。 $P=NP$ $R$ $P^R \ne NP^R$

computability oracles random-oracles

— 斯科特·亚伦森
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有一些相关的论文由埃里克·艾伦德和他的合作者：对随机字符串的计算能力的限制，削减所设置的随机字符串：资源有界的案例

— 卡韦赫

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是。

首先，由于我花了一分钟时间自己弄清了这一点，所以让我形式化您的问题与之间的区别；这是量词的顺序。，并且您暗示结果是 $\mathsf{AlmostP}$ $\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ 。如果我理解正确的话，你是问，如果 $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ 。 $Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

考虑

。 $p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

由联合界中，是由上界。（请注意，后者之和是可数的。）现在，根据0-1法则-由于如果我们将有限地改变很多，所有相关的陈述都不会改变，因此该法则适用-此总和中的每个单独概率为0或1。问题的答案是否定的，则，因此，必须有一些，使得 $p$ $\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$ $R$ $p=1$ $L \in \mathsf{COMP}$ 。但这与的事实相矛盾。 $Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$ $\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

更新2014年10月10日：由于在通过了Emil耶扎贝克注释中指出，同样的观点也适用于与，因为我们也知道，。 $\mathsf{AM}$ $\mathsf{NP}^R$ $\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

他还指出，除了是包含（result。，）的可数类之外，我们没有使用任何其他有关。因此，OQ中的“有趣结论”实际上适用于包含任何可数类的语言：如果，则见证甲骨文分离的“唯一”语言不在之外 $\mathsf{COMP}$ $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathcal{C}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$ $\mathcal{C}$ 。但后者说法感到有点误导，我（这使得它听起来像，对于任何，我们可以考虑，从而“秀”是没有实现，与众所周知的定理矛盾）。相反，将其象征性地写出来，我们显示了： $L_0$ $\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$ $\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

如果，然后 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

$R$ $R$ $Pr_R$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C} \cup \{L_0\}$ $R$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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相同的论点适用于AM与NP ^ R。同样，可计算性并不重要，证明中使用的可计算语言的唯一属性是数量众多。

— EmilJeřábek在2014年

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尽管您要问的内容和几乎为P的量词的顺序不同，但并不难证明它们是等效的。首先，对于任何固定的L，L \ in P ^ O是否不取决于O的任何有限初始段的问题。得出的结论是L \ in P ^ R的概率为0或1。从几乎- P结果，对于不在BPP中的每个可计算L，答案为0，而在BPP中，如果L \ n，则概率为1。概率为0的集合的可数联合的概率为0。因此，存在任何不在BPP中但在P ^ R中的可计算L的概率为0，以及BPP中存在某种语言不在P ^中的语言的概率R，

— 罗素（Russell Impagliazzo）
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