计算奇偶校验的电路的最小尺寸是多少？

一个经典的结果是，每个从输入变量计算奇偶校验的扇入2 AND-OR-NOT电路的大小至少为$3(n-1)$，这很明显。（我们将大小定义为“与”门或“或”门的数量。）证明是通过消除门来进行的，并且如果允许任意扇入，它似乎会失败。这种情况已知什么？

具体来说，有人知道更大扇入有助于提高门扇数量的例子吗，即，我们需要少于$3(n-1)$门？

更新10月18日。马齐奥（Marzio）表明，对于CN =奇偶校验形式的$n=3$甚至$5$门就足够了。这意味着一个必然的一般ñ。你能做得更好吗？$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

仅使用2.33n + C门就可以计算奇偶校验。构造非常简单，在本文中给出。

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

这是仅使用12个门进行6个变量奇偶校验的电路示例（每个门是AND门，门输入附近的圆圈表示此输入是反相的）。请注意，通过堆叠DNF块（类似于Marzio的上限）构建的用于6个变量奇偶校验的电路由13个门组成。

我检查过，对于n = 2、3、4、5、6，最佳电路的大小为3、5、8、10、12。这些值也是给出2.33n上限的电路大小。我仍然不知道2.33n是否是每n个最佳电路的大小。更甚者，我不知道7个变量的奇偶校验的最佳电路的大小（有两个可能的值14和15）。

此门消除下限与Marzio的上限不匹配，但这是一个开始。

命题：每个无界扇入AND / OR / NOT电路在计算奇偶变量包含至少2 Ñ - 1个 AND和OR门。$n\ge2$$2n-1$

为了方便起见，我将使用一个模型，其中唯一的门是“与”门，但我们允许取反线。很容易看出，对于n = 2，需要门，因此足以表明，如果C是在n > 2个变量上计算奇偶校验的最小尺寸电路，我们可以发现一个变量的限制至少杀死了一个两个门。$3$$n=2$$C$$n>2$

如果某个变量至少具有两个正的父级（即，它通过非负极线连接到两个不同的门），则将该变量设置为0将杀死父级，我们完成了；如果它有两个负父母，也是如此。因此，我们可以假设每个变量最多具有一个正父和最多一个负父。$x_i$$0$

假设为电路中的底层门。不失一般性，一个= X 1 ∧ X 2 ∧ ⋯。设置x 1 = 0，这将强制a = 0并将其杀死。受限电路Ç '仍然计算奇偶性，特别地，其取决于X 2，因而X 2具有负的父b = ¬ X 2 ∧ c ^ 1 ∧ ⋯ ∧ Ç ř。请注意$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$，没有取决于x 2。如果有一个分配到X 3，... ，X Ñ其中（上的顶部X 1 = 0），使一些Ç Ĵ假，通过该分配的限制将是恒定的电路，矛盾的是它计算的事实X 2或¬ X 2。因此，在Ç '，所有的Ç Ĵ计算常数1，和b单位计算¬ $c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$，因此，我们可以一起消除它一个。$\neg x_2$$a$

编辑：当我从尤里Kombarov的论文了解到，今年下界，还有⌊ $2n-1$通过马兹奥德BIASI的答案上必然隐含的，最初证明$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[1] Ingo Wegener，无边界扇入，无边界深度电路中奇偶函数的复杂性，理论计算机科学85（1991），没有。1，第155-170页。http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

我扩大我的评论：

1）扇入 AND门可以通过模拟ķ - 1的扇入2与门（这同样适用于一个或门）; 因此，如果我我 ≥ 2是扇入的栅极克我下面的关系必须持有：$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

2）如果允许任意风扇进入，则可以突破界限；例如考虑3个变量（x 1，x 2，x 3）的奇偶性; 以下电路仅用5个任意扇入门进行计算：$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

$5n/2$

如果有一个带有3个父母的文字，我们可以用一个变量消除所有3个。

如果两个文字同时出现在2个不同的门中，我们可以应用Emil答案中的main参数，再次用一个变量消除3个门。