机密保障问题的这种变体是什么？

输入是宇宙和家庭的子集的，说，。我们假设子集可以覆盖，即。 $U$ $U$ ${\cal F} \subseteq 2^U$ ${\cal F}$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$

的增量覆盖序列是在子集的序列，比方说，，即满足 ${\cal F}$ ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1）， $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$

2）每一个新来的具有新的贡献，即， ; $\forall i>1$ $\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

问题是要找到一个最大长度的增量覆盖序列（即最大）。需要注意的是，最大长度序列必须最终覆盖，即。 $|{\cal A}|$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$

我试图找到一种算法或一种近似算法来找到最长的增量覆盖序列。我只是想知道这种布套问题的变种是什么。谢谢！

— 切赫同调
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您需要子集

的家庭覆盖宇宙

吗？因为那样的话，由于要寻找具有其他属性的机套，您当然会遇到更困难的机套问题。换句话说，设置覆盖物可以减少您的问题。设置封面的Wiki上还显示了设置封面的不可近似性结果。

A

$\cal{A}$

U

$\cal{U}$

— 哈利

只是一个观察（太小而无法回答）：当您的子集大小为2时，您所寻找的实际上是一片跨越森林。

— David Eppstein 2014年

对于OP来说可能不是新手，但是这里有一些观察。（1）最佳值始终为| U |。最佳值是否等于| U | 可以通过尝试最小化覆盖元素数量的贪婪算法来有效地确定是否选择。（2）如果F中的所有集合的大小均为2，则相同的贪婪算法也适用，请参阅David Eppstein的评论。（3）相同的贪婪算法通常不起作用（叹气）。一个反例：F = {{{1,2,3}，{1,4,5,6}，{2,4,5,6}，{3,4,5,6}}。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2014年

这个问题看起来根本不像集合覆盖问题……更像是二分图中匹配和诱导匹配之间的混合体。一个很好的等效表述是，如果一个家庭中没有一个元素完全覆盖某个元素，那么这个家庭就是坏人。问题在于找到

的最大子族

，以使

没有坏的子族。

A

${\cal A}$

F

${\cal F}$

A

${\cal A}$

— daniello 2014年

@Neal Young

不错，因为

恰好被一组（即

）覆盖。

F

${\cal F}$

b

$b$

{a, b}

$\{a,b\}$

— daniello 2014年

Answers:

在这里，我证明问题是NP完全的。

我们将CNF转换为您的问题实例，如下所示。假设CNF的变量是，子句是，其中。让，其中在联合所有组都完全不相交。事实上， $n$ $x_i$ $m$ $C_j$ $n<m$ $U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ 和，而是任何集基数的。还分别表示和定为每个长度的增加的家庭里面，记 $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$ $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$ $Z_i$ $k=2n+1$ $Z=\cup_i Z_i$ $Z_i$ $k$ 对于。对于每一个变量，我们添加集来，每组形式的和。对于每个子句，我们添加一组到，其中包含，并为每元件 $Z_{i,l}$ $l=1..k$ $x_i$ $2k$ $\mathcal F$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $C_j$ $\mathcal F$ $Z$ $x_i\in C_j$ $\{a_{i,j}\}$ 并为每元件。 $\bar x_i\in C_j$ $\{b_{i,j}\}$

假定该公式是可满足的，并确定了令人满意的赋值。然后挑集的形式的或，这取决于是否是真还是假。这些是增量集。现在添加与子句相对应的套。由于这些子句是可以满足的，因此它们的大小也不断增加。最后，我们甚至可以添加多套（每个变量），使该序列覆盖。 $k$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $x_i$ $nk$ $m$ $k$ $U$

现在假设将集合放在一个递增序列中。请注意，最多可以为每个选择对应于套。因此，如果没有子句套在增量序列，至多可以被选择，这是太少。注意，一旦选择了子句集，我们最多可以选择与每个对应的最多两个集，总共最多集。因此，我们必须至少选择 $n(k+1)+m$ $k+1$ $x_i$ $x_i$ $n(k+1)$ $x_i$ $2n$ 在选择任何子句集之前，先设置变量集。但是，因为我们可以为每个最多选择，所以这意味着对于每个我们至少选择了，因为。这决定了变量的“值”，因此我们只能选择“ true”子句。 $n(k-1)$ $k+1$ $x_i$ $1$ $k=2n+1$

更新：的改变值从到通过马兹奥指出。 $k$ $n$ $2n+1$

— 多摩普
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甲澄清：我迅速检查结构为不可满足式

（

），但它似乎我们可以建立一个序列

的

递增集。也许我犯了一个错误：我们有

x_{1} \land \neg x_{1}

$x_1 \land \neg x_1$

n = k = 1, m = 2

$n=k=1, m=2$

n (k + 1) + m = 4

$n(k+1)+m = 4$

F

$\mathcal F$

？

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, a_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 1}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— Marzio De Biasi 2014年

知道你和我自己，我敢肯定，这个错误是我的......我觉得我们应该得到

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$ ，但当然仍然是一个问题。好的，我知道我在哪里出错了，我很快就解决了，谢谢！

— domotorp 2014年

好的，我明天再看！只是注意，你可以写（在评论）是什么

为

，什么是“目标值”的覆盖序列（是否k）的长度是多少？因为，在修正的应答设置

，然后再谈谈

套放入增量序列 ; 是正确的吗（我还没有尝试还原）？

F

$\mathcal F$

x_{i} \land \neg x_{i}

$x_i \land \neg x_i$

k = 2 n + 1

$k = 2n+1$

n (k + 1) + m = 2 n^{2} + 2 n + m

$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— Marzio De Biasi 2014年

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1},}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

— domotorp

我认为这是正确的，因为

，但是我们只有

长度递增的序列。

n (k + 1) + m = 6

$n(k+1)+m=6$

5

$5$

— domotorp 2014年

这是一组约束下的包装问题，对于解决，对于任何子，我们始终有一个元素，其上覆盖一次。 $\mathcal{A}$ $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

证明：给您解决问题的方法，它立即具有此属性。确实，如果是您问题的最佳解决方案，请考虑这些集合的子集，并假设是该序列中出现在的最后一个集合。通过解决方案是增量式的必需属性，可以得出以下结论：覆盖了没有先前集合覆盖的元素，这意味着上述属性。 $E_1, \ldots, E_m$ $\mathcal{B}$ $E_i$ $\mathcal{B}$ $E_i$

至于另一个方向，也很容易。从解决方案开始，找到只被覆盖一次的元素，将其设置为序列中的最后一个集合，删除该集合，然后重复。QED。 $\mathcal{A}$

这是一个很自然的问题。

快速提醒：在集合包装问题中，给定一系列集合，找到符合某些附加约束的最大集合子集（例如，没有元素被覆盖超过10次，等等）。

— 萨里尔·哈皮德（Sariel Har-Peled）
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这个答案是仅证明问题是自然的，还是您还声称有其他东西？

— domotorp 2014年

它以一种更简单的方式进行说明。没有？

— Sariel Har-Peled 2014年

是的，我同意这一点。

— domotorp 2014年