SAT的最佳当前空间下限?


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在上一个问题之后

SAT 的最佳当前空间下限是多少?

下限空格是指图灵机使用的二进制工作区字母所使用的工作区单元。由于TM可以使用内部状态来模拟任何固定数量的工作带单元,因此不可避免地需要一个恒定的加法项。但是,我有兴趣控制经常隐式包含的乘法常数:通常的设置允许通过较大的字母进行任意常数压缩,因此乘法常数在那里不相关,但是对于固定的字母,应该可以将其考虑在内。

例如,SAT需要超过空间;如果不是这样,那么该空间上限将通过仿真导致的时间上限,因此SAT 的组合时空下限将被违反(请参阅链接的问题)。似乎也有可能改进这种论点,以争辩说SAT至少需要空间才能获得一些小的正,类似于,其中是模拟空间界的常数指数TM受时间限制。Ñ 1 + Ö 1 ñ 1.801 + Ö 1 δ 登录Ñ + Ç δ 0.801 / C ^ C ^loglogn+cn1+o(1)n1.801+o(1)δlogn+cδ0.801/CC

不幸的是,通常非常大(在通常的模拟中肯定至少为2,其中TM的磁带首先通过较大的字母编码在单个磁带上)。这种边界相当弱,并且我对的空间下界特别感兴趣。对于一些足够大的常数,步骤的无条件时间下界将通过仿真暗示这样的空间下界。然而,时间降低的界限为目前尚未公知,更不用说大。δ « 1 日志Ñ + Ç Ω Ñ dd > 1 Ω Ñ dd > 1 dCδ1logn+cΩ(nd)d>1Ω(nd)d>1d

换句话说,我正在寻找一种可能是SAT超线性时间下限的结果,但可能有可能更直接地获得它。


像在其他答案(例如RW)中一样,单独关注时间或空间下界似乎遥不可及,并且只有较弱的/通用的已知界限,并且该领域的领先研究似乎提出了一个相对较新的概念时空复杂性
vzn 2014年

Answers:


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似乎已知的最佳界限(对于多带图灵机)是对数的。

假设二进制worktape位就足以决定是否任何ñ位CNF公式是满足的,对所有足够大,ñ。通过标准仿真,可以通过最多具有q n s 2 s = 2 s + log n + log s + log q的TM来模拟具有q个状态且最多使用s位空间的TM δlognnnqsqns2s=2s+logn+logs+logq不同的配置。无论何时机器接受,都会有一系列(不确定性)运动到达接受状态,该状态最多与此配置数目一样长。当,最大为2 s 2 + o 1 (请注意,对于所有输入长度nq均保持相同)。在单独的计数器胶带上,Ms=Ω(logn)2s(2+o(1))qnM可以首先以一元形式写入此数量,然后在仿真的每个步骤中擦除计数器的一个符号,如果计数器符号用完了,则终止计算。这会产生一个恒定的开销因子(大约为3),它会被指数中的项吸收。因此,2 s 2 + o 1 步就足够了。o(1)2s(2+o(1))

通过假设,因此时间-空间乘积至多δ 登录Ñ 2 δ 登录Ñ 2 + Ö 1 = Ñ δ 2 + Ö 1 sδlognδlogn2δlogn(2+o(1))=nδ(2+o(1))

Rahul Santhanam在2001年证明(请参阅doi:10.1016 / S0020-0190(00)00227-1),决定SAT的图灵机的时空积必须至少为;他的论点也适用于非确定性机器。因此δ 1,和至少日志Ñ二进制worktape的位是必要的。Ω(n2o(1))δ1logn

更一般而言,其他工作带和较大的工作带字母会将指数更改恒定因子。这最终减小了因数,但空间下界仍为Ω log n δΩ(logn)


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也许我们可以用这种方法证明SAT 的空间下界(但是我对极限/渐近分析没有把握,所以我的答案可能是完全错误的)。logn

与一个只读输入带和一个工作带,既图灵机模型上的二进制字母表,对于每个判定Ç上尺寸的输入状态Ñ我们有:Σ={0,1}cn

T(n)c2S(n)nS(n)(1)

否则,图灵机将永远循环播放(组件代表所有可能的磁带配置,n组件代表输入磁带机头位置,而S n 组件代表工作磁带机头位置)。上的一个磁带单头TM过二进制字母表(1)变为Ť Ñ Ç 2 小号Ñ 小号Ñ 2S(n)nS(n)T(n)c2S(n)S(n)

将两个项都乘以并应用SAT的一般时空权衡,我们得到:S(n)

n1.801+o(1)S(n)T(n)cS(n)22S(n)n

所以挑选上界就像一个空间为SAT将导致contraddiction,确实S(n)(logn)1ϵ

limnn1.801c((logn)1ϵ)22(logn)1ϵn=

limn(0.801lognlogc2(1ϵ)log(logn)(logn)1ϵ)=

似乎至少有两种通用方法可以证明上限导致矛盾。主要是我脑子里想的使用(基本相同,但略有更易于使用)不平等牛逼ñ 2 日志ñ + Ç 小号Ñ 对于某一常数Ç。你提供的最后一步,也可以变得更强,作为一个矛盾从甚至如下小号Ñ δ 登录Ñδ < 0.801 /o(logn)T(n)2logn+C.S(n)CS(n)δlognδ<0.801/C
2014年

@AndrásSalamon:在必然的一面,你不能指望简单的改进:从S.巴斯和R·威廉斯。时空下界的交替交易证明的限制,2012年:“我们证明,为证明可满足性问题的任何更好的时空下界,新技术都是可证明的必要。即,“交替交易”方法“证明”用于证明SAT不能在n 2 cos π / 7 时间内求解,而n o 1 空间不能证明n 2 cos π / 7 +STn2cos(π/7)no(1)时间下限,对于每个 ϵ > 0 “。您有任何想法:n2cos(π/7)+ϵϵ>0
Marzio De Biasi 2014年

我认为使用时空界限可以做到这一点,这恰恰是因为Ryan的方法已经达到了这些界限。
2014年

要甚至存储SAT实例,您需要并读取它需要Ω n 时间。这不是证明Ω n 2 ST的下限吗?Ω(n)Ω(n)Ω(n2)
T ....

@Turbo,目前尚不清楚,每一个算法来决定SAT具有存储该实例:证明的位确定性空间下界将显示大号Ñ PΩ(n)LNP
安德拉斯·萨拉蒙
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