黎曼假说变体在TCS中的意义

距今约一千五百多年的黎曼假设在数学中具有深远的意义，现在有条件地证明了数学理论的巨大发展和众多的变体。我最近遇到了一个基于黎曼假设的对TCS中条件结果的引用。因此，我想知道，

Tie中的黎曼假设的主要含义是什么？

首先，是最近一篇论文的一个例子，由杜兰德，马哈让，马洛德，德·鲁吉·阿瑟尔和索拉布为VP完成的同态多项式。从论文的介绍：

代数复杂性理论中最重要的开放性问题之一是确定VP和VNP类是否不同。这些类别由[Valiant]首先在[13，12]中定义，是布尔复杂度类别P和NP的代数类似物，并且将它们分开对于将P与NP分开是必不可少的（至少是非均匀的，并假设了广义的黎曼假设，在字段，[3]）。 $\mathbb{C}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— z
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众所周知，广义RH意味着我们可以对Miller-Rabin素数检验进行随机化处理。但是我不知道是否有任何与之相关的更深层次的内容。

— usul 2014年

嗯，我认为确定性快速找到一个大素数（即给定

为二进制，找到大于

的素数）也与问题有关。希望有知识的人可以发表评论。

n

$n$

n

$n$

— usul 2014年

@usul RH表示，对于所有大

，在

都有一个质数，它确实给出了一些不平凡的确定性算法，但与我们想要的相去甚远。此外，我们确实知道如何在不使用RH的情况下实现相同的运行时间，请参见polymath项目论文arxiv.org/abs/1009.3956。我相信假设RH将是一个重要的结果，那么找到质数的更好的确定性算法。

n

$n$

[n, n + n^{0.5 + o (1)}]

$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— 2014年

同样，RH的扩展在算术级数的最小素数上给出了一个好的上限（例如，参见shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf中的 5.5.4 节）。

— Alex Golovnev 2014年

Answers:

首先，我不了解黎曼假说的任何CS应用。RH 的概括有各种应用。

其次，用术语表示：与普遍看法相反，没有“广义黎曼假设”或“扩展黎曼假设”之类的东西。这两个术语在文献中或多或少地可以互换使用，作为RH对某种函数泛化的一种概括形式。它们没有固定的特定含义，或者至少在不同作者的论文（甚至同一作者的不同论文）中不一致。 $L$

OP中提到的结果基于Koiran的结果，即的存在论（通常以混淆的名称“希尔伯特的Nullstellensatz”命名）在AM中，因此在多项式层次中。它假定RH为戴德 -functions; 特别地，它依赖于Chebotarev密度定理的有效版本。 $\mathbb C$ $\zeta$

另一类CS应用程序利用以下事实：每个非平凡的二次Dirichlet字符模对于某些假设，最初是由于Ankeny引起的，经常提到巴赫改进了表示法中的常数。它依赖于RH为的二次狄利克雷字符-functions，这是一个比对较弱的Dedekind $m$ $\chi(x)=-1$ $x=O((\log m)^2)$ $O$ $L$ $\zeta$ -功能。（结果实际持有一般多为有限阶赫克字符，并完全一般性的，它需要在RH为所述赫克字符-functions，这实际上相当于RH下的Dedekind -functions。然而，CS应用我知道不需要。）结果是可以使几种算法去随机化，例如Miller-Rabin素数测试算法或Shanks-Tonelli算法，用于计算平方根模素数。 $L$ $\zeta$

据我所知，相对于上面的评论所提到的，RH 对于确定性地查找给定间隔中的素数没有用。这可以从Cramér的猜想或素数间隙的相似边界得出，但是RH太弱而无法证明这样的界限（素数定理中的误差项至少约为阶。 $\sqrt x$

— 埃米尔·杰拉贝克（EmilJeřábek）
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L

$L$

ζ

$\zeta$

@François：我个人也习惯该术语。但是，例如，巴赫和沙利特（Bach and Shallit）相当着名的书以完全相反的方式对其进行了定义（这与巴赫在其“显式界限...”论文中的用法相矛盾）。

— EmilJeřábek'14

PPA中的因素不是有趣的含义吗？arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

也许。在倒数第二段中，这是“后果是可以使几种算法（例如...）去随机化”的一个实例，我认为没有必要在答案中做广告。

— 埃米尔·耶拉贝克（EmilJeřábek）

假设扩展了黎曼假设，LM Adleman和HW Lenstra给出了多项式时间算法以在有限域上找到所需度数的不可约多项式：http : //www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf

— 林炳凯
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