复杂度结果的多项式方法

组合Nullstellensatz和Chevalley-Warning定理说，多项式方法是加法组合学中的强大工具。通过用适当的多项式表示问题，它们可以保证解的存在或多项式的解的数量。它们已被用于解决诸如受限和集或零和问题之类的问题，并且该领域中的某些定理只能通过这种方法来证明。

对我来说，这些方法的非构造方式确实令人惊讶，并且我很好奇我们如何应用这些方法来证明复杂性类的任何有趣的包含和分离（即使结果可以用其他方法解决）。

是否有已知的复杂性结果可以通过多项式方法证明？

使用多项式方法的一些经典示例如下：

• Razborov-Smolensky的“奇偶校验不在 ” 的证明（在线提供大量博览会，这是一个）$AC^0$
• Beigel-Reingold-Spielman的证明“ PP在交点处关闭”
• Bazzi欺骗DNF的结果，以及Braverman的“ Polylog独立性愚弄$AC^0$ ” 的证明

此外，布尔函数的傅立叶分析（这是Ryan O'Donnell的一门不错的课程）有大量令人敬畏的结果，我最喜欢的是Kushilevitz-Mansour-Nisan的Goldreich-Levin定理的证明。

实际上，斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）在FOCS'08上做了关于“ 经典和量子计算中的多项式方法（ppt） ” 的教程。

希望这可以帮助。

以前在此网站上提到的有限域Kakeya问题有Zeev Dvir的结果。Zeev使用多项式方法来降低F ^ n（F有限域，n个自然数）中任意点的点数的下界，该点在每个方向上都包含一条线。这个结果实际上引起了人们对多项式方法分析的关注。

Zeev的结果是受构建随机性提取器的任务驱动的。这是理论计算机科学对算法进行非随机化的巨大努力的一部分，并最终证明P = BPP和类似的复杂度结果成立。

请参阅Zeev的调查中的更多内容：http : //www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir0​​9b.pdf