输入的lambda演算可以在给定的复杂度以下表示所有*算法吗？

我知道，大多数没有Y组合器原语的类型化的λ演算的复杂度是有界的，即只能表达有界复杂度的函数，随着类型系统表达能力的增强，界界也会变大。我记得例如，构造微积分最多可以表达双倍的指数复杂性。

我的问题是有关输入的lambda演算是否可以表示某个复杂度以下的所有算法，或者仅表示某些算法？例如，在Lambda Cube中是否存在任何形式主义无法表达的指数时间算法？被多维数据集的不同顶点完全覆盖的复杂性空间的“形状”是什么？

我会给出部分答案，希望其他人能填补空白。

在类型化的 calculi中，可以给通常的数据表示形式赋予类型（对于教堂（一元）整数为N a t，对于二进制字符串为S t r，对于布尔型为B o o l）并且想知道函数的复杂性是什么？ /问题可以通过键入的术语来表示/确定。我仅在某些情况下才知道精确的方法，在简单类型的情况下，它取决于定义“可表示/可确定”时使用的约定。无论如何，我不知道存在双指数上限的任何情况。$\lambda$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Bool}$

首先，简要回顾一下Lambda Cube。通过在简单类型的演算（STLC）之上启用或禁用以下3种依存关系，可以获得其8个计算：$\lambda$

• 多态性：术语可能取决于类型；
• 相关类型：类型可能取决于术语；
• 高阶：类型可能取决于类型。

（术语对术语的依赖性始终存在）。

添加多态性债收益率系统F.在这里，您可以键入与教会整数，同样适用于二进制字符串和布尔值。芝证明这种类型的系统F而言Ñ 一吨 → Ñ 一吨代表完全相同的数值函数，其总体是二阶皮亚诺算术证明的。这几乎是每天的数学运算（尽管没有任何形式的选择），因此课程种类很多，Ackermann函数是其中的一种微小微生物，更不用说函数2 $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$。我不知道系统F中无法表示的任何“自然”数值函数。示例通常是通过对角线化或编码二阶PA的一致性或其他自指技巧（例如确定系统中的β-等式）构建的F本身）。当然，在系统F中，您可以在一元整数Nat和它们的二进制表示形式Str之间进行转换，然后测试例如第一位是否为1，因此可判定问题的类别（按类型Str→B表示）ool）同样巨大。$2^{2^n}$$\beta$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

因此，包含多态性的Lambda多维数据集的其他3个计算至少与系统F具有相同的表现力。其中包括系统Fω（多态性+高阶），它可以精确地表示高阶PA中可证明的总函数，以及微积分。构造（CoC），它是多维数据集中最具表现力的演算（所有依赖项均已启用）。我不知道用算术理论或集合论来描述CoC的表现力，但是它一定很可怕：-)$_\omega$

我对仅通过启用从属类型（本质上是没有等式和自然数的马丁-洛夫类型理论），高阶类型或同时启用这两种类型所获得的演算一无所知。在这些演算中，类型很强大，但是术语无法获得这种能力，所以我不知道您会得到什么。从计算上来说，我认为您没有比简单类型具有更多的表现力，但我可能会误会。

因此，我们只剩下了STLC。据我所知，这是多维数据集唯一具有有趣（即不算大）复杂度上限的演算。关于TCS.SE，有一个尚未解决的问题，实际上情况有些微妙。

首先，如果您固定一个原子并定义N a t：= （X → X ）→ X → X，则将得到Schwichtenberg的结果（我知道网上有某纸的英文译本，但我找不到它现在）告诉您类型N a t → N a t的函数正是扩展的多项式（使用if-then-else）。如果允许一些“松弛”，即您允许随意实例化参数X并考虑类型N a t$X$$\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$$X$与任意 A可以表示更多。例如，任何指数塔（因此您可能远远超出了双指数）以及前任函数，但仍不减法（如果考虑二进制函数并尝试使用 N a t [ A ] → N a t键入它们 [ A ' ] → N a t）。因此，在STLC中可表示的数值函数类别有点奇怪，它是基本函数的严格子集，但与众所周知的任何事物都不对应。$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$$A$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

与上述明显矛盾的是，Mairson 的这篇论文展示了如何对任意图灵机的转移函数进行编码，从中可以得到N a t [ A ] → B o o l类型的项（对于某些类型甲取决于中号），该赋予了教会整数ñ作为输入，模拟的执行中号从固定的初始配置开始为一些形式的步骤 2 2 ⋮ 2 ñ$M$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$M$$n$$M$

$$2^{2^{\vdots^{2^n}}},$$ 固定塔的高度。这并不表明每个基本问题都可以由STLC确定，因为在STLC中无法将表示M输入的二进制字符串（类型为）转换为用于表示M in 的配置的类型。 Mairson的编码。因此，编码某种程度上是“非均匀的”：您可以从固定输入中模拟基本长的执行，对每个输入使用不同的术语，但是没有一个术语可以处理任意输入。$\mathsf{Str}$$M$$M$

实际上，STLC在“统一”决策方面非常薄弱。让我们称类的语言由类型的简单地键入的术语可判定的小号吨- [R [ 甲] → 乙ö ø 升一段甲（如上面，则允许在打字任意“松弛”）。据我所知，缺少C S T的精确表征。然而，我们知道Ç 小号牛逼 ⊊ 大号我ñ 牛逼我中号$\mathcal C_{ST}$$\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$\mathcal C_{ST}$$\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$（确定性线性时间）。包含和严格的事实都可以通过非常简洁的语义论证来显示（在有限集类别中使用STLC的标准指称语义）。前者是特瑞（Terui）最近放映的。后者本质上是Statman的旧结果的重新表述。在的问题的例子是多数（给出一个二进制串，告诉它是否包含严格更1S比0）。$\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

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（更多）后来的附加内容：我刚刚发现上面我称为的类确实具有精确的表征，而且非常简单。在1996年的一篇精美论文中，Hillebrand和Kanellakis证明了：$\mathcal C_{ST}$

定理。 （常规语言在{ 0 ，1 }）。$\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$$\{0,1\}$

（这是他们论文中的定理3.4）。

我发现这令人惊讶地加倍：我对结果本身感到惊讶（我从来没有想到过可以对应于如此“整洁”的东西）以及它鲜为人知。Terui的L I N T I M E上限的证明也使用Hillebrand和Kanellakis所使用的相同方法（在有限集类别中解释简单类型的λ微积分），这也很有趣。换句话说，Terui（和我本人）可以很容易地重新发现这个结果，如果不是因为我们对C S T是一个“怪异”的类而感到满意：-)$\mathcal C_{ST}$$\mathrm{LINTIME}$$\lambda$$\mathcal C_{ST}$

（顺便说一下，我对MO关于“未知定理”的这个问题的回答感到惊讶）。

达米亚诺（Damiiano）在出色的回答中提出了一个问题的答案：

我对仅通过启用从属类型（本质上是没有等式和自然数的马丁-洛夫类型理论），高阶类型或同时启用这两种类型所获得的演算一无所知。在这些演算中，类型很强大，但是术语无法获得这种能力，所以我不知道您会得到什么。

$_\omega$

$\lambda{P}$$\lambda{P}\omega$

如果添加归纳类型和大消除，我不知道构造的强制性演算的强度是什么。

我将尝试补充Damiano的出色答案。

$\lambda$$F$ $\mathrm{HA}_2$

$\cal{T}$$\cal{L}$$\cal{T}$$\cal{L}$

$\cal{L}$

• $F$$\mathrm{HA}_2$

• $T$$\mathrm{PA}$$F$

$\lambda$$\mathrm{PTIME}$

总的来说，这是一个很大的研究途径，因此我将仅参考以前的答案之一。