拓扑在计算机科学中的应用

我想写一篇关于计算机科学中拓扑学应用的调查。我计划介绍计算机科学中拓扑思想的历史，并重点介绍当前的一些发展。如果有人可以就以下任何问题提供意见，那将非常有帮助。

1. 是否有任何论文或笔记描述计算机科学中拓扑使用的时间顺序？

2. 结果在计算机科学中最重要的应用是什么？

3. 使用拓扑来深入了解计算的当前工作中最有趣的领域是什么？

谢谢！

我个人认为，拓扑最有趣的应用是Herlihy和Shavit所做的工作。他们使用代数拓扑来表征异步分布式计算，并给出了重要已知结果的新证明，并消除了许多长期存在的开放性问题。他们因这项工作而获得2004年Godel奖。

Maurice Herlihy和Nir Shavit撰写的“异步计算的拓扑结构”，ACM杂志，第1卷。46（1999），858-923，

拓扑是一个成熟的学科，具有各种子领域，包括几何，代数，度量，点集和（自弃）无意义拓扑。计算机科学也相当广泛，并且具有许多数学子区域，因此我希望拓扑思想在CS中有很多应用。马歇尔·斯通（Marshall Stone）说“总是道歉”，并且具有必要背景的计算机科学家经常有。等等。一些例子。

这些示例不仅涉及通过拓扑结构解决的硬CS问题。有时，拓扑概念可以很好地转换为CS设置或为CS的子区域提供基础。

1. 命题逻辑的紧性定理是Tychonoff定理的结果。通常证明一阶逻辑的紧凑性不同。紧凑性是经典模型理论中的重要工具。

2. 布尔代数的Stone表示定理涉及命题逻辑，布尔代数和某些拓扑空间的模型。对于代数逻辑和编程语言语义中使用的结构，已经得出了石头类型的对偶结果。

3. 尼克·皮彭格（Nick Pippenger）将斯通定理应用于常规语言的布尔代数，并使用拓扑来证明有关常规语言的若干事实。有关语言理论中拓扑的最新工作，请参见Jean-Eric Pin的评论。

4. 在正式方法中，存在安全性和活力属性的概念。每个线性时间属性都可以表示为安全性和活跃性属性的交集。证明使用基本拓扑。

5. 马丁·埃斯卡多（MartínEscardó）开发了算法和编写程序来搜索无限集。我认为紧凑是这项工作的关键要素。

6. 波兰拓扑学家（例如Kuratowski）的工作为我们提供了封闭运算符。格上的闭包运算符是抽象解释理论的重要组成部分，它是静态程序分析的基础。

7. 闭包运算符和其他拓扑思想是数学形态学的基础。

8. 同样来自波兰学校的内部运算符的概念对于模态逻辑的公理化也很重要。

9. 许多计算机科学都基于基于图的结构。某些应用程序需要比图形提供的更丰富的连通性和流程概念，而拓扑自然是下一步。这是我对并发理论中van Glabbeek的高维自动机以及Eric Goubault的几何拓扑在并发程序语义中的应用的阅读。

10. 可能受到最多关注的应用是拓扑（最初是代数的，尽管也存在更多组合表示形式）的应用，以表征分布式计算中的某些容错方案。除了上面提到的Herlihy和Shavit外，Borowsky和Gafni以及Saks和Zaharouglou也为首个此类突破给予了支持。异步可计算性框架产生了更多这样的结果。

11. 布劳威尔的不动点定理引起了我们研究的几个问题。最近在算法博弈论的研究中，定点问题的复杂度类别PPAD和复杂度类别FixP。

12. Borsuk-Ulam定理在图形和度量嵌入中有多种应用。这些在JiříMatoušek的书中都有介绍。

这些都是在外面采摘的东西。祝好运！

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-结石。语义从根本上基于排序的近似概念和方程的最小不动点解，通常保证存在解。

指称语义的梗阻是与抽象解释，程序分析和验证的联系。

当前的研究包括为并发和量子语言提供指称语义。

Abramsky和Jung对核心概念进行了很好的概述：领域理论。

半代数变体和超平面排列（及其补码）的连通分量数（更通常是Betti数）的界已用于代数计算和决策树的几个下界。对于一些重要的参考，请参阅：

Michael Ben-Or，代数计算树的下界，STOC 1983，第80-86页。

姚志智（Andrew Chi-Chih Yao），决策树复杂度和Betti数，J。Comput。系统科学 55（1997），no。1，第1部分，第36-43页（STOC 1994）。

Anders Bjorner和Laszlo Lovasz，线性决策树，子空间排列和Mobius函数，J。Amer。数学。Soc。7（1994），没有。3，677-706。

以不同但又有些相关的方式，Smale以一种非常有趣的方式（特别是编织组的同调）使用拓扑来降低Blum-Shub-Smale模型中查找根的复杂性：

Smale，S.论算法的拓扑结构，IJ复杂性，3（2）：81-89，1987。

$2^{\omega}$

这与戴夫的答案和领域理论有关。这里的基本论点是，可计算性固有地基于本地操作和有限的观察。您可以将可计算性视为完善的拓扑概念。最清楚的例子是：

所有（oracle Turing）可计算函数都是连续的。另一方面，每个连续函数都是可以使用适当的oracle计算的oracle Turing。

您可以在Klaus Weihrauch的书“可计算分析”中找到更多信息。您可能还想看看Steven Vickers的好书《通过逻辑的拓扑》。

其他两篇可能与您的调查相关的论文...

M.Gehrke，S.Grigorieff，J.-E。Pin，一种识别的拓扑方法，ICALP 2010，第二部分，计算机科学讲义6199，Springer Verlag，（2010），151-162。

M.Gehrke，S.Grigorieff，J.-E。Pin，正规语言的对偶和方程理论，ICALP 2008最佳论文奖，Track B，ICALP 2008，第二部分，计算机科学讲座5126，Springer Verlag，（2008），246-257。

不要忘记Aandera-Rosenberg-Karp猜想的Kneser猜想和Kahn / Saks / Sturtevant证明。

尚未提及Robert Ghrist的工作，Robert Ghrist曾在伊利诺伊州工作，但现在在U Penn工作，将拓扑学应用于传感器网络和机器人技术。这是一次不错的采访。

这也与Gunnar Carlsson等人在将拓扑应用于数据分析中的工作非常相关。

也许不是STOC / FOCS TCS，但绝对是计算机科学。

最好从拓扑上理解理解并发和对并行计算建模的理论。除了早先的答案中Herlihy和Shavit关于异步可计算性的拓扑结构的著名工作之外，Eric Goubault还完成了使用几何建模并发的工作，而Pratt 在斯坦福并发小组中研究Chu空间用于并发的工作也很有趣。尽管我对他们的工作不熟悉。

Kitaev开始了所有有关容错量子计算机的拓扑方法的工作。请参阅Kitaev的原始论文，或参阅John Preskill的讲义。

尚无人提及定向代数拓扑，它实际上是为提供用于研究并发性的合适的代数拓扑工具箱而开发的。

在计算理论中，还有几种针对主题的低维拓扑方法，它们都是相当新的：

• 基于辫子理论的各种容错非离子量子计算方法。参见例如这里和这里。此外绝热量子计算的网络HERE。
• Lambda演算（例如HERE，第46-48页和HERE）和米尔纳pi演算（HERE）的基于图解拓扑的形式主义。
• 使用彩色缠结的级联来建模递归和马尔可夫链。参见例如这里和这里。实际上，已经证明（未公开）任何图灵机计算和任何递归一阶神经网络都可以用这种方式建模。
• 对于量子计算，存在一个更高类别的理论形式主义，其中拓扑图表示计算，拓扑等效图表示具有相同计算内容的不同过程。请参阅此处。

度量标准嵌入的某些应用程序。

请参阅Matousek的这本书：http ://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

另请查看这些文件：

• Bi-Lipschitz嵌入到低维欧几里得空间中，J。Matousek（1990）（他使用van Kampen定理证明了下界）
• R ^ d，J。Matousek和A. Sidiropoulos中的度量嵌入的不可逼近

读这本书：

查看其存档的网页

查看本书《计算复杂性：定量观点》， 它使用资源受限的拓扑工具研究某些复杂性类的大小。

$P$$NP$$P \ne NP$$NP-P$$NP$$NP-P$