确定性并行算法，用于一般图形的完美匹配？

在复杂度类，有一些问题不属于类，即确定性并行算法存在的问题。最大流量问题就是一个例子。并且相信中存在问题，但尚未找到证明。$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

完美匹配问题是图论中提出的最基本问题之一：给定图，我们必须找到的完美匹配。正如我在互联网上可以找到的那样，尽管有Edmonds 的美丽的多项式时间Blossom算法，以及1986年Karp，Upfal和Wigderson 的RANDOMIZED并行算法，但只有少数几个子图具有算法。$G$$G$$\mathsf{NC}$

在2005年1月，Computational Complexity博客上发表了一篇文章，声称无论Perfect Matching是否在，它仍然是开放的。我的问题是：$\mathsf{NC}$

从那以后，除了随机算法以外，还有什么进展？$\mathsf{NC}$

为了阐明我的兴趣，任何处理一般图的算法都不错。尽管图子类的算法也可以，但是这可能不在我的注意范围内。谢谢你们！

在12/27编辑：

感谢您的所有帮助，我尝试将所有结果汇总为一个图：

已知的最低类包含以下问题：

• 匹配一般图形： [ KUW86 ]， [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• 在二等平面/常数属图中匹配： / [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• 当总数为多项式时匹配： [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Lex-first最大匹配项： [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

此外，在合理的复杂性假设下：需要指数电路，一般图形中的匹配在 [ ARZ98 ]。$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

通用图形中用于完美匹配的 N C算法仍处于开放状态，但是已经取得了一些进展。以下是一些我知道的信息：$NC$

对于一般图形，Agrawal-Hoang-Thierauf表明，鉴于完全匹配的数目很小的承诺，存在一种算法来枚举所有这些。$NC^2$

对于平面图类，pfaffian起着重要作用。Kastelyn展示了如何以pfaffian完全等于完美匹配的数量的方式来定向每个平面图。（这被Valiant 用于解决各种问题的“ 全息算法 ”。）Mahajan-Subramanya-Vinay展示了如何通过修改Clow序列在计算pfaffian。（Kastelyn实际上提供了一种算法来查找P中的嵌入，但是我不确定pfaffian嵌入是否也可以在N C中进行计算；如果是，那意味着在平面图中计算完美匹配在N C中。）$NC$$P$$NC$$NC$

Vinodchandran-Tewari的最新结果表明，可以对平面图（使用格林定理！）对隔离引理进行“去随机化”，以将平面可达性放入。但是用于平面匹配的N C算法仍然是开放的（感谢Raghunath纠正了我的说法，即U L）。Datta-Kulkarni-Roy给出了用于二分面匹配的N C算法$UL$$NC$$UL$$NC$

希望这可以帮助。

几年后:)并且完全匹配现在被认为是准NC的（也就是说，您需要准多项式许多处理器）。请参阅Fenner，Gurjar和Thierauf的论文（用于二部图）https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf和我们与Ola Svensson的合作（用于普通图）：https : //arxiv.org/pdf/1704.01929

不幸的是，Tewari-Vinodchandran对隔离引理进行了非随机化处理，但不幸的是，它没有给出平面匹配的UL上限。实际上，我什至不认为NC算法对于平面匹配并不为人所知。但是在最近与Datta，Kulkarni和Nimbhorkar的合作中，我们显示了二分平面匹配的UL上限（此结果的撰写仍在进行中）。这很有趣，因为在此之前甚至都不知道NL界限。

当已知优化问题很难解决时，通常会查看其最大版本。例如，尽管独立集是NP-Complete，但是lex的第一个最大独立集是P-Complete。

$\sqrt n$

所有这些都表明，可能没有易于并行化的NC版本。但是谁知道呢？下周有人可以取消RNC版本的随机性！

编辑：谢谢Ramprasad。但是，这是本文的另一个链接。

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer，AV Goldberg，DJ Haglin和S. Plotkin。并行近似匹配。信息。程序 Lett。，46（3）：115，1993