检查两个CNF是否具有相同数量的解决方案的复杂性

给定两个CNF，如果它们具有相同数量的作业以使其成立，则回答“是”，否则回答“否”。

很容易看到它在＃P，因为如果我们知道这两个CNF的确切解数，我们只需对它们进行比较，然后回答“是”或“否”。 $P^{\#P}$

这个问题的复杂性是什么？

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— 迈克·陈
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Answers:

问题是coNP很难解决。您可以轻松地将UNSAT问题简化为该问题。

一个更精确的特征是问题是C ₌ P -complete。实际上，类C ₌ P的一种定义是问题的类可以通过多项式多次还原到这个问题（通常用GapP函数表示）。但这并不能说明太多，所以让我用另一种方式定义此类。

令C ₌ P为一类问题，该问题可以通过多项式多项式归结为以下问题：给定布尔电路φ和整数K（二进制），确定满足φ的赋值数是否等于K。通过显示＃3SAT的#P完全性的标准归约法，我们可以将φ限制为3CNF公式，而不影响类别。C ₌ P类包含一个名为US的类，其中包含UP和coNP。

使用此定义，您的问题是C ₌ P-完全。实际上，从类C ₌ P（使用3CNF公式）的定义中很容易看出C ₌ P硬度。

为了证明在C成员₌ P，假设我们是决定两个给定的CNF公式是否φ ₁和φ ₂有相同数量的满足分配与否。不失一般性，我们可以假设两个公式具有相同数量的变量，例如n。构造一个以n +1位为输入的布尔电路φ，以使φ的满足分配数等于c ₁ +（2 ⁿ - c ₂），其中c ₁和c ₂是满足的分配的数量φ ₁和φ ₂分别。当且仅当c ₁ = c _2时，满足的φ分配数量等于2 ⁿ。

— 伊藤刚
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@Kaveh：你能详细说明吗？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Kaveh：不，那不是我们想要的。我们要确定φ_1和φ_2是否具有相同数量的满意分配，而不必具有相同的一组满意分配。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Tsuyoshi：根据您对

定义，GI是否在

？我认为至少GI

。

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Mike Chen，2010年

@Mike：谢谢你的有趣评论。你谈论的结果是图同构∈ SPP（Arvind的和Kurur 2006年dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002）？如果是这样，那你是对的；SPP包含在

，所以图同构∈

。

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@迈克：我了解到在结果GraphIso∈SPP之前，已知GraphIso∈LWPP：Köbler，Schöning和Torán1992。由于LWPP⊆ WPP ⊆

，我们并不需要通过阿文德和Kurur更强结果说GraphIso∈

。

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

这是原始问题的一个小变化。令为一个预言，如果CNF 比CNF 具有更多的解，则在输入输出1 。 $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

鉴于此Oracle，我们建立了一个多时间机器可以解决计算给定的CNF解的个数的＃P-完全问题。注意，可以具有指数级的解。 $M$ $\varphi$ $\varphi$

的工作原理如下：它产生的公式与已知的一些解决方案，并使用二进制搜索，并通过询问最多多项式查询，它找到一个公式拥有相同数量的解决方案为。最后，它输出刚刚找到的解决方案的数量。 $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

这表明具有复杂度#P。 $M^O$

— 道斯蒂女士
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原谅我的无知，但是您如何生成具有预先指定数量的解决方案的公式？

— Giorgio Camerani

设M是第（k + 1）比特的数量

，让

是指数

其中

。制作一个变量

和

的公式。对于每一个

，让

是以下子式：“所有的

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

是真实的，而

只有

是真实的。”

有

满足要求的变量（变量

是自由的），并且对于

，由于

而使

和

的令人满意的分配不相交

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ 变量。式

已

满足分配。

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— mikero

注意，在给定两个CNF公式f_1和f_2的情况下，f_1是否具有比f_2更令人满意的分配，这是PP完成的。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@mikero：啊，愚蠢的我！我应该想象得到的。感谢您的启发性解释。

— Giorgio Camerani

看起来这至少是NP难的，因为只需一个解决方案就可以轻松构造SAT公式。然后，通过Valiant-Vazirani定理，从每个SAT公式到一组Unique-SAT问题（确定一个公式是否具有唯一解），然后将这些Unique-SAT问题与构造的SAT公式仅用一个解决方案进行比较，概率就减少了使您能够确定所考虑的SAT公式的可满足性。

— 选择
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确切地说，第一句应提及“在随机可归性下”（尽管您在第二句中提及）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年