自然证明屏障的范围

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拉兹伯罗夫（Razborov）和鲁迪奇（Rudich）的自然证据障碍指出，在可靠的密码假设下，人们不可能希望通过发现具有建设性，庞大且有用的功能的组合特性来将NP与P / poly分开。有一些众所周知的结果设法逃脱了障碍。也有几篇论文讨论了这三种情况的可能漏洞，例如，周的结果表明，障碍物对弱小的侵犯行为敏感，而查普曼和威廉姆斯的最新论文建议如何通过放松使用条件来潜在地避免障碍。我的问题是，是否有任何实例甚至可能性来避免自然证据壁垒，而不是通过违反建设性，规模大或有用性，而完全超出其范围。也就是说，对于我来说，根本不是很清楚为什么每种潜在的证明方法都需要基于找到组合的“属性”，然后将所有功能划分为满足和不满足该属性的功能。为什么这个操作框架必须适用于所有可能的证明，如果不是，那么其他类型的证明会是什么样？

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 匿名
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认为这是有效的，但这里可能存在一些微妙的“漏洞”，从历史上看，“障碍定理”经常是这种情况。RJLipton对自然证明 / “一般禁止”障碍物有更多的想法。建议在理论计算机科学聊天室中

— vzn

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令为一个函数，令为在有限切片上工作的一类算法。每任何下限电路是一个证明，，对于一些和一些。考虑“布尔函数的组合属性”，这样 $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$ $C$ $f$ $f \notin C$ $f$ $C$ ${\cal P}_f$

${\cal P}_f(f) = 1$ 对于所有且。 ${\cal P}_f(g) = 0$ $g \neq f$

甲证明是一个证明，是针对有用，在Razborov和Rudich的术语。也就是说，“有用性”是完全不可避免的，没有办法“超出其范围”。如果您完全证明了电路的下限，则可以提供一些有用的属性。 $f \notin C$ ${\cal P}_f$ $C$

注意，如果，则用Razborov和Rudich的术语也是有建设性的。因此，对于在可计算但在（例如）不可计算的函数，可构造性也将适用于布尔函数的至少一个对有用的属性。 $f \in TIME[2^{O(n)}]$ ${\cal P}_f$ $f$ $E$ $P/poly$ $P/poly$

因此，Razborov和Rudich比您最初想像的更为根本。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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我很困惑，为什么Razborov和Rudich在定义完全通用的属性（即布尔函数的子集）时将“组合”放在“属性”之前。

— Sasho Nikolov'3

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您是对的：自然证明定理与自然属性有关（并且仅非正式地与证明有关）。Razborov自己大约在同一时间撰写了两篇论文，以探讨形式证明和复杂性下限的类别：

第一个研究弱算术片段中现有下界证明的形式化（证明复杂性理论下限的硬度上限）。

第二篇论文是关于证明更复杂性理论下限的难度的下界：我们需要证明多少数学？ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ 我们需要吗？？？也许至少是？（被认为是与概念相对应的推理理论）。第二篇论文的理想结果是： $ZFC$ $ZF$ $PA$ $PV$ $PV$ $\mathsf{P}$

$PV$ 无法证明（在合理的。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

为此，我们需要形式化非正式概念，即可以从下界证明中提取自然属性。但是，第二篇论文的结果比这要弱得多。 $PV$

因此，据我们所知，有一个证明，没有在之外使用任何概念。实际上，据我们所知，可能有更弱的理论可以证明这种分离。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

— 卡韦
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