是否存在具有以下直接和属性的函数？

可以在布尔电路的电路复杂性框架中，或者在代数复杂性理论的框架中，或者可能在许多其他设置中提出这个问题。通过对参数进行计数，很容易表明在N个输入上存在布尔函数，这些布尔函数需要成倍增加的门数（当然，我们没有任何明确的示例）。假设我希望在M个不同的输入集上对某个整数M评估M次相同的函数，因此输入的总数为MN。也就是说，我们只是想试用对于相同的功能˚F各时刻。$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

问题是：是否已知函数的序列（每个N有一个函数），使得对于任何N，对于任何M，所需门的总数至少等于M乘以M的指数函数。不行吗 因为我们希望这个结果对所有M都成立，所以简单的计数论证似乎不起作用。可以在代数复杂度理论和其他领域提出这个问题的简单类似物。$f$

好吧，这是错误的：可以仅使用O（N（M + 2 ^ N））门来评估ANY f的M个副本，这可能比M * exp（N）小得多（实际上，您可以进行线性摊销指数M的复杂度）。我不记得参考文献了，但是我认为它可以像下面这样：

首先添加2 ^ N个虚拟输入，它们只是常数0 ... 2 ^ N-1，现在用xi表示第i个N位输入（因此对于i <= 2 ^ N，我们有xi = i，对于2 ^ N <i <= 2 ^ N + M我们有原始输入）。现在我们为M + 2 ^ N个输入中的每一个创建一个三元组：（i，xi，fi）其中，对于前2 ^ N个输入（硬连接到电路中的常数），fi是f（i），fi = “*“ 除此以外。现在我们根据密钥xi对三元组（i，xi，fi）进行排序，然后让第j个三元组为（i_j，x_j，f_j），通过让g_j为如果f_j不是“ *”，则f_j，否则让g_j为g_（j-1）。现在，根据关键字i_j将新的三胞胎分类回去，您会在正确的位置得到正确的答案。

还有另一个结果进一步限制了您正在寻找的直接和现象的可能性。Shannon（由Lupanov收紧）的一个著名的早期结果表明，所有布尔函数都可以由大小为的电路计算，并且通过Shannon的计数参数，这对于随机函数是严格的。可能有人认为，至少对于m的中等值，计算m个随机f实例的电路复杂性将扩展为m 2 n / n。然而，Dietmar Uhlig在$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

“网络为多个输入值计算布尔函数”

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$！

我找不到在线的非门禁副本，也找不到作者的主页，但是在此程序中我遇到了这篇论文：

布尔函数复杂度（伦敦数学学会讲义系列）

关于代数复杂度，我不知道指数复杂度下降到亚指数摊销复杂度的例子，但至少有一个简单的例子，M个不相交的副本的复杂度可以大大小于单个副本的M倍。 ：

对于“随机” n * n矩阵A，由A定义的双线性形式的复杂度（函数f_A（x，y）= xAy，其中x和y是2个长度为n的矢量）为Omega（n ^ 2 ）-可以通过“类似计数”的维参数来显示，因为您需要在电路中放置n ^ 2个“位置”来放置常量。但是，给定n对不同的向量对（x ^ 1，y ^ 1）...（x ^ n，y ^ n），您可以将x放入n * n矩阵X的行中，同样将y的放入矩阵Y的列中，然后从XAY的对角线读取所有答案x ^ iAy ^ i，其中这是使用快速矩阵乘法在n ^ 2.3（左右）运算中计算的，远小于n * n ^ 2。

沃尔夫冈·保罗（Wolfgang Paul）研究并解决了这一问题，他证明了所讨论的内容成立。