从其正方形恢复邻接矩阵的复杂性

我对以下问题感兴趣：给定一个矩阵，在邻接矩阵平方的个顶点上是否存在该矩阵的无向图？ $n\times n$ $n$

这个问题的计算复杂度已知吗？

备注：

当然，这也可以表述为搜索问题，其中给您矩阵的是无向图的邻接矩阵，而问题是要找到任何（无向图的）邻接矩阵使得。 $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Motwani和Sudan（图的计算根是困难的，1994）和Kutz（布尔矩阵的根计算的复杂性，2004）显示了与此类似但不同的问题是NP-困难-他们只考虑布尔矩阵下的邻接矩阵的平方乘法。

cc.complexity-theory graph-theory

— 本·菲什
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该问题等同于确定具有给定的成对内积的

向量的存在。

n

$n$

— Mohammad Al-Turkistany

最近，有一篇论文针对随机矩阵而不是邻接矩阵解决了这个问题（arxiv.org/abs/1411.7380）。在这种情况下，正方形的性质称为可除性，在我提到的论文中显示为NP完全的。

— MARIS Ozols

@ MohammadAl-Turkistany它们等效吗？要解决OP问题，除了通用向量（整数值，某些索引必须为零，等等）之外，还需要其他结构。

— 杰里米·昆

这应该与检查学位序列是否为图形有关。请注意，在

，对角线代表度数序列，而

是顶点

的公共邻居数。因此，这是对图形度序列问题的限制。不知道如何解决。

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

Answers:

据了解，二部图的方块可以在多项式时间（见认可这个）。通常，基于基础图的周长可以表征此问题的复杂性。

$s$ $s$

— 尼基尔
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感谢您的答复，但是您提到的结果与该问题无关-就像在Motwani和Sudan的论文中一样，他们假设给定的矩阵是一个邻接矩阵，并且目标是找到另一个矩阵，该图的邻接矩阵取平方布尔矩阵乘法是给定的矩阵。而在此问题中，它不是布尔值，而是整数矩阵乘法。换句话说，这个问题与图形的平方根无关，因为它们使用了该术语。

— Ben Fish

@BenFish糟糕。误解了你的问题。对于Integer矩阵，我认为除了逼近矩阵的平方根之外，没有其他更好的方法，尽管我认为您有兴趣将其作为加权图的平方根进行计算（而且我不知道该怎么做）

— Nikhil 2015年

@Nikhil矩阵的平方根不是唯一的，所以这样做不能解决问题

— Lev Reyzin

@LevReyzin你是正确的。总的来说，我认为唯一性可以通过矩阵的光谱来表征（也许它们没有提供必要和充分的条件）。随机矩阵有一些有趣的结果-参见eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

如果基础图是一个稀疏的随机图，则可以在多项式时间内解决“图平方根”的问题。加权图也是如此。使用此想法的论文示例包括：在社交网络中找到重叠的社区以及学习某些深层表示的可证明界线。关于图立方体根，第四根等类似算法的想法吗？

— 普拉蒂克
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