网络中第二小的

关于流网络中第二小的 -割，是否知道？或更笼统地说，关于这个问题： $s$ $t$

输入：网络和数字，均为二进制。输出：第个最小的 -切口。 $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

第个最小的 -割是任何 -割，因此恰好有 -割的容量 $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

我想知道如何计算以及是否可以有效地完成的情况。 $k=1$

cc.complexity-theory optimization max-flow-min-cut flow-problems

通过将权重添加到最小切口中的所有边，然后计算新的最小切口，可以找到第二小的切口。只要以一元编码（并且肯定是常数），这可能就可以工作。

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus 2015年

我看不出有什么帮助。想象一下一个路径网络，该路径网络仅由三个节点，，和两个边缘和。此外，令容量为且。显然，最小割割和第二小的割割。如您所述增加容量将再次产生，最小截取容量为。我该如何从中推断出第二小的切割点？

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— 奥利弗·威特

在cut的上限上添加一个下限是线性不等式，只需添加一个比min的上限大一个epsilon并运行LP。您可以重复k次以获得所需的内容。可以将其作为网络上的修改来重铸，但是我还没有解决。

— 卡夫

我看到如果是一元编码，它是如何工作的。如果是二进制怎么办？在这种情况下，无法在次迭代中完成网络修改。

k

$k$

k

$k$

— 奥利弗·威特

我怀疑如果k是二进制，是否有一个简单的解决方案。我们可以按照我的描述检查是否有帽c的缺口。在我看来，本质上是在计算可能的c的数量，这可能与计数匹配的数量以及可能的＃P-complete有关。（这只是我的直觉，而不是争论。）

— Kaveh，2015年

第二个最小割，更通常是最小割，可以在和网络大小的时间多项式中找到。看到： $k$ $k$

HW Hamacher。一个算法用于找到网络中的最佳切割。歌剧 Res。来吧 1（5）：186–189，1982，doi：10.1016 / 0167-6377（82）90037-2。 $(K\cdot n^4)$ $k$

HW Hamacher，J.-C。Picard和M. Queyranne。在网络中找到最佳割据。歌剧 Res。来吧 2（6）：303-305，1984，doi：10.1016 / 0167-6377（84）90083-X。 $K$

HW Hamacher和M. Queyranne。组合优化问题的最佳解决方案。安歌剧 Res。4（1-4）：123-143，1985，doi：10.1007 / BF02022039。 $K$

— 大卫·埃普斯坦
source

这些难道不让前权重相等吗？问题似乎是关于第个最小重量的问题，正如Kaveh建议的那样，它的气味更像是#P完全问题。

k

$k$

k

$k$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）

我也这样理解：允许相等的权重。这似乎无法回答问题。尽管如此，我还是没有意识到这些论文，谢谢。

— 奥利弗·威特

这个问题的措词不好，因为它要求一件事（第个最小割重），然后又添加了一个限制，将问题变成了其他问题（第个最小割重）。我同意该问题的不同权重版本很可能是$ P完全的。

k

$k$

k

$k$

— David Eppstein，2015年

网络中第二小的 - Cut