集合论，序数论，无限组合论和一般拓扑在计算机科学中的应用？

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我是一位对集合论，序数论，无限组合论和一般拓扑感兴趣的数学家。

这些学科在计算机科学中是否有任何应用？我看了一下，发现了（当然）有限图论，有限拓扑，低维拓扑，几何拓扑等许多应用。

但是，我正在寻找这些主题的无限对象的应用，即无限树（例如Aronszajn树），无限拓扑等。

有任何想法吗？

谢谢！！

set-theory topology topological-graph-theory

— 用户名
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另请参见集合论主题在软件工程中作为普通，强制，通用过滤器的应用 cs.se

— vzn 2015年

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除了Neel的出色答案之外，您可能还对可计算序数感兴趣，可计算序数在可计算性理论中扮演着有趣的角色：en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow 2015年

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拓扑在语义学中的一项主要应用是可计算性的拓扑方法。

可计算性拓扑的基本思想来自观察到终止和非终止不是对称的。可以观察黑盒程序是否终止（只需等待足够长的时间），但是无法观察它是否不终止（因为您永远不能确定您没有等待足够长的时间才能看到它终止）。这对应于与谢尔宾斯基拓扑，其中装备两个点集合{HALT，LOOP} $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ 是开放集。因此，我们基本上可以将“开放集”与“可计算属性”等同起来。对于传统拓扑学家而言，这种方法的一个惊喜是非豪斯道夫空间在其中扮演着核心角色。这是因为您基本上可以进行以下识别

\begin{matrix} C Ø 米 p ü Ť 一种 b 一世 升 一世 Ť ÿ & Ť Ø p Ø 升 Ø G ÿ \\ 类型 & 空间 \\ 可计算功能 & 连续功能 \\ 可决定的集合 & 开合套装 \\ 半定集 & 公开集 \\ 设置半确定补码 & 封闭集 \\ 以可判定的平等性进行设置 & 离散空间 \\ 设置半确定的相等性 & 豪斯多夫空间 \\ 穷举搜索集 & 紧凑的空间 \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

这些想法有两个很好的调查是MB史密斯的拓扑结构的逻辑在计算机科学手册和马丁Escardo的数据类型和古典空间的综合拓扑。

拓扑方法在并发语义中也起着重要作用，但是我对此了解得很少。

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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谢谢您的启发！我会看一看。

— user135172'5

是否可以仅针对多项式层次结构寻求更好的拓扑？

— T ....

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这些想法一个迷人的应用程序可以在一系列的职位“看似不可能的功能程序”中找到- math.andrej.com/2007/09/28/...，math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible证明

— jkff

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N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

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论文之间分享了2004年的哥德尔奖：

异步计算的拓扑结构。
莫里斯·赫利希（Maurice Herlihy）和尼尔·沙维特（Nir Shavit），ACM杂志，第一卷 46（1999），858-923
无等待k-set协议是不可能的：公共知识的拓扑。
SIAM J.着《计算》，Michael Saks和Fotios Zaharoglou着。29（2000），1449-1483。

行情从2004年哥德尔奖：

这两篇论文提供了分布式计算理论中最重要的突破之一。

分布式计算拓扑性质的发现为该领域提供了新的视角，并代表了使用拓扑结构量化自然计算现象的最惊人的例子之一，可能在所有应用数学中。

相关文章：拓扑在计算机科学中的应用

— 恒新
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尽管这些无疑是TCS中拓扑的出色应用，但它们实际上是“组合/代数拓扑”的应用，而不是我认为 OP所谓的“通用拓扑”（在点理论/集合理论/逻辑中更是如此）竞技场）。

— Joshua Grochow

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反应系统的行为通常使用无限结构（无限跟踪和无限计算树）进行建模，并且它们的时间特性（安全性和活动性）也已使用拓扑进行了特征化。

定义生活 Alpern和Schneider

分枝时间的安全性和生命力Manolios等。等

— 米特什
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