边缘分割成彩虹三角形

我想知道以下问题是否对NP不利。

输入： $G = (V,E)$ 一个简单的图形和一个着色 $f : E \to \{1,2,3\}$ 的边缘（$f$ 不验证任何特定属性）。

问题：是否可以分区$E$ 进入 $|E|/3$ 三角形，这样每个三角形都有每种颜色的一个边缘？

我知道没有颜色的问题是将图形“边缘分割”为 $K_n$， $n \geq 3$是NP难的（请参阅某些边缘分区问题的NP完全性），但具有我不知道的颜色。

我也会对边缘分割成彩虹的结果感兴趣 $K_c$，带有 $c$一个常数。当然，在这种情况下，问题变为：

输入： $G = (V,E)$ 一个简单的图形和一个着色 $f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$ 的边缘（$f$ 不验证任何特定属性）。

问题：是否可以分区$E$ 进入 $|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$，这样每个集团 $K_c$ 每种颜色都有一个边缘？

我按照问题中的链接进行操作，在那里的归约实际上生成了图形，其边缘具有自然色，因此每个 $K_n$ 图中显示的是“彩虹 $K_n$”（每种颜色恰好有一个边缘）。换句话说，我们可以轻松地调整该纸张的减少量，从而将其减少到您的问题，而不必减少到划分为 $K_n$问题：只需根据此自然着色为每个边缘分配颜色，然后就可以将图形划分为“彩虹” $K_n$s”，当且仅当它可以被划分为 $K_n$s。

该论文的基本还原结构可以通过以下三个步骤完成：

1. 创建特定图形的许多副本 $H_{n,p}$。
2. 确定某些副本的某些片段 $H_{n,p}$ 彼此之间（即在多个不同副本之间合并顶点/边） $H_{n,p}$）。
3. 从某些副本中删除某些顶点/边缘。

图 $H_{n,p}$ 有长度的集合作为顶点$n$ 模向量 $p$ 为其添加组件 $0$ 模 $p$。边连接每两个顶点的边，两个顶点的区别仅在于两个部分$+1$ 和 $-1$ 在这两个组成部分中。

我为该图建议以下着色：根据每个边缘的方向为其分配颜色。如果$x$ 和 $y$ 是相邻的顶点，那么 $x-y$ 是一个向量 $n-2$ 等于 $0$，等于 $1$ 一个分量等于 $-1$。换句话说，对于每个边缘$(x, y)$有选项，其中分量非零。如果我们为这些选项中的每一个分配唯一的颜色，则所有边缘都具有着色，以便同一方向上的每个边缘都具有相同的颜色。验证中的中没有两个边都在同一方向上是很容易的。因此每在是彩虹该着色下。${n \choose 2}$$x-y$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$

当我们遵循归约法时，我们对每个副本使用此着色。因此，在上述列表的步骤1的结尾，图中的每个都是彩虹。$H_{n,p}$$K_n$$K_n$

在上面列表的第2步中，我们彼此确定了一些顶点/边。特别地，在归约中，我们总是将一个与另一个标识。但是在这种情况下（所有都来自的副本），每个要么是本文称为的“标准 ” 的译文，要么是的译文。因此，我们要识别两个彼此“翻转”的并行或两个。无论哪种情况，在两个上标识的边$K_n$$K_n$$K_n$$H_{n,p}$$K_n$$K_n$$K$$-K$$K_n$$K_n$$K_n$s是平行的，因此是相同的颜色。例如，请参见论文中的图2。识别出的边总是平行的。因此，由于我们从不尝试识别两个不同颜色的边缘，因此上述列表中步骤1末尾的颜色自然可以扩展为步骤2末尾的颜色。一起确定某些顶点/边不会创建任何新的，因此在此步骤结束时仍然是每个是彩虹。$K_n$$K_n$$K_n$

最后，在步骤3中，我们删除了一些顶点/边，这也不会创建任何新的。因此，我们有我们想要的属性：在我提供的颜色下，由该约简生成的图形中的每个都是彩虹。$K_n$$K_n$$K_n$