如何证明USTCONN需要对数空间？

USTCONN是需要确定图是否存在从源顶点到目标顶点的路径的问题，所有这些都作为输入的一部分给出。 $s$ $t$ $G$

Omer Reingold显示USTCONN位于L（doi：10.1145 / 1391289.1391291）中。证明通过之字形乘积构造一个恒定度的扩展器。恒定度扩展器具有对数直径，然后可以使用恒定数量的对数大小标记检查所有可能的路径。

Reingold的结果给出了USTCONN的空间复杂度的对数上限，根据该论文，它的空间复杂度“高达恒定因子”。我对相应的下限感到好奇，该下限在本文中其他任何地方均未提及。

在最坏的情况下，如何证明对数空间来决定USTCONN？

编辑：将输入表示形式固定为基础顶点对称简单有向图的 ×邻接矩阵，并连续列出行以形成位字符串。 $N \times N$ $N$ $N^2$

Lewis和Papadimitriou（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）证明USTCONN是SL完全的，这与Reingold的结果暗示SL = L。Savitch显示（doi：10.1016 / S0022-0000（70）80006-X）。此外对于任何可计算函数由斯登Hartmanis和刘易斯（DOI：10.1109 / FOCS .1965.11），因此USTCONN至少需要空间。最后，通常的类在L之下（例如 $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$ $\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$ $f(n) = o(\log\log n)$ $\Omega(\log\log n)$ $\text{NC}^1$ ）是根据电路定义的，显然不能与任何根据空间限制定义的类进行比较。

据我所知，这（不太可能）留下了一种可能性，那就是存在更好的确定性算法，该算法仅使用但使用空间，对于某些，或者甚至是使用空间的USTCONN的不确定算法。 $O((\log n)^\delta)$ $\Omega(\log \log n)$ $\delta < 1$ $o((\log n)^{1/2})$

根据空间层次定理，只要是可空间构造的，。这似乎表明USTCONN不能位于，但是，在对数空间减少的情况下，L的USTCONN是完整的，这似乎并不意味着此。USTCONN仍然有足够的结构来编码L中的任何问题通过减少对数空间，而USTCONN本身仅需要亚对数空间。 $\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$ $f(n)$ $\text{DSPACE}(o(\log n))$

只要L中有某种语言需要对数空间，则表明在严格“较弱”的情况下L的USTCONN是完整的，而不是对数空间的减少将产生所需的下界。

L在减少了空间的情况下，USTCONN是否对L完整？ $o(\log n)$

Immerman（doi：10.1137 / 0216051）指出，对于一阶约简下的L，可以通过AC电路计算得到的定向可达性版本（其中所需路径（而非图形本身）是确定的）是完整的。然后，可能会将其修改为显示USTCONN在FO减少下对L是完整的。但是，尽管AC严格包含在L中，但AC仍然是电路类，我不知道有任何方法可以在亚对数空间中执行FO折减。 $^0$ $^0$ $^0$

编辑2015-07-14： 一个有趣的哲学问题是TM的空间使用量是否应在输入中包括索引的大小（从而允许随机访问输入，但是如果输入的大小加倍则需要额外的位），或者TM使用的空间是否是计算过程中访问的工作胶带的平方数（假定输入磁带头是固定的，并且当输入磁带尺寸加倍时不会改变）。以前的RAM样式定义立即为所有对象提供了一个日志空间下限计算，并对当前计算机进行建模，这些计算机将跟踪文件中的当前位置作为与文件开头的偏移量。后者的经典定义假定具有固定读取头的类似纸的磁带，除了当前的输入符号外，对磁带一无所知，这可能是Turing在1937年的论文中打算的。

像托马斯（Thomas）的评论这样的启发式论点，甚至不可能用位空间来索引输入，似乎假定了现代的RAM风格的定义。Stearns / Hartmanis / Lewis使用TM样式的定义，就像大多数有界计算的经典著作一样。 $o(\log n)$

通过指出完美平方的一元语言需要对数空间进行识别，可以证明以邻接矩阵表示的USTCONN的对数空间下界（请参阅RüsiņšFreivalds，计算模型，Riemann假设和古典数学，SOFSEM 1998，LNCS 1521，89）。–106。doi：10.1007 / 3-540-49477-4_6（预印本））。然后，具有邻接矩阵表示形式的USTCONN将具有相同的下限。这可能是一个骗子：通常在promise问题中执行promise比实际问题要容易，但是在这里执行promise的输入是一个图形已经给出了下界。因此，很高兴看到承诺问题的日志空间下限的参数，其中保证输入来自语言。 $\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

您的“，因此.... UStCONN至少需要...空间”的结论不在句子的其余部分后面，因为中有这样的函数不存在。

o (\log (\log (n)))

$o(\log(\log(n)))$

δ

$\delta$

$\;$

输入表示非常重要，因为使用空间时，我们无法在输入中指定或访问任意位置。您使用什么输入表示形式？我们甚至可以证明USTCONN处于不确定的亚对数空间吗？

o (\log n)

$o(\log n)$

— 托马斯（Thomas）支持莫妮卡

FO = LTH = DLogTime统一AC ^ 0

— Kaveh，

这是非常详细的＆那很棒，但似乎将其与“官方已知/公认的未解决问题”以及已知的完整问题（请参阅后者，但也许更多有关吗？）相关联...显然很接近...并且请注意se并不是一个好的格式，如果这样的话...顺便说一句，USTConn中的U似乎代表“无向”吗？fyi SJ在此站点上研究了“低级” STConn的下限及其与USTConn的相互关系，似乎似乎会有非常自然的联系

— vzn 2015年

证明时间空间下限的通信复杂性技术可能会有所帮助：如果空间小于则时间小于因此空间时间小于。我们能否以某种方式摆脱时空中的并显示空间是否小于则时间空间小于？

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

n^{2} \log n

$n^2 \log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

— 卡夫

库萨·埃特萨米（Kousha Etessami）的论文《计数量词，后继关系和对数空间》证明了问题（本质上是检查一个顶点顶点在顶点之前是否在顶点上，该问题被认为是一条路径））是在无量词的投影下很难。 $\mathbf{ORD}$ $s$ $t$ $G$ $\mathsf{L}$

问题可以看出，以减少该问题，由 -reductions：给定一个实例的只是删除边缘出和输出其它边缘作为无向边的问题是是否连接在所得曲线图。（注意：减少的幅度可能更大一些。） $\mathbf{ORD}$ $\mathbf{USTCONN}$ $\mathsf{FO}$ $\langle G,s,t\rangle$ $\mathbf{ORD}$ $t$ $u \rightarrow v$ $\{u,v\}$ $\mathbf{USTCONN}$ $s,t$

— 萨米德
source

谢谢！这似乎是我对USTCONN的L完备性的最终评论的详尽阐述。但是，我不清楚是否可以在亚对数空间中完成ORD的减少，因此这似乎并不能回答主要问题，即表明USTCONN确实确实需要至少对数空间。我想念什么？

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrasSalamon：即使您的问题没有解决您刚刚提出的问题，您也缺少了Thomas关于输入表示的问题。

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