图同构的图的自同构数

让 $G$ 和 $H$ 是两个 $r$ -大小的规则连接图 $n$ 。让 $A$ 是排列的集合 $P$ 这样 $PGP^{-1}=H$ 。如果 $G=H$ 然后 $A$ 是的自同构集 $G$ 。

什么是最著名的上限 $A$ ？
特定图类（不包含完整/循环图）是否有结果？

注意：构造自同构组至少与解决图形同构问题一样困难（就其计算复杂度而言）。实际上，仅对自同构进行计数就相当于多项式时间，这与图形同构有关，请参阅R. Mathon，“关于图形同构计数问题的注释”。

— 吉姆
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Wormald已经证明，如果 $G$ 是连接的 $3$ -具有2n个顶点的正则图，然后是 $G$ 分界 $3n\cdot 2^n$ 。特别是，这给出了一个非平凡的指数上限。 $3$ -常规情况。也许这行的结果很一般 $k$ -正则图。

对于下限，请考虑公式 $F$ 与 $n$ 输入为加法的输入 $\mod k$ 扇入2的门。然后使用Toran的结果可以构造一个 $k$ -正则图 $G(F)$ 与 $O(k^2\cdot n)$ 自同构群对的所有可能求值进行编码的顶点 $F$ 。这意味着 $G(F)$ 至少是 $k^n$ 。这表明存在自同构数的指数下界 $k$ -正则图取决于其顶点数量。

— Mateus de Oliveira Oliveira
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请考虑下图1。

r_{1}

$r_1$ 正则图和

r_{2}

$r_2$ 正则图（它们都不是完整图或循环图）通过E个边相互连接，说这个连接图是不规则图

G

$G$ 2.每个顶点

r_{1}

$r_1$ 正则图的边带有

r_{2}

$r_2$ 正则图。没有两个顶点

r_{1}

$r_1$ 边数相同的正则图

r_{2}

$r_2$ 正则图。G的自同构可以是指数的吗？

— 吉姆（Jim）

是。曲线图G2可以具有指数数量的自同构。令H1为具有n个顶点的任何r1正则图，编号为1 ... n。令H2为通过以下过程获得的图（分为3个注释）。令D为菱形图，即一个4圈以及一条边缘，该边缘连接两个先前不相邻的顶点。假设这两个顶点是D的内部顶点。其他两个顶点是D的外部顶点。显然，存在自动交换，将两个内部顶点交换并保持外部顶点不变。

— Mateus de Oliveira Oliveira 2015年

现在，考虑两个周期C1和C2的不相交并集，其中n（n + 1）/ 2个顶点从1到n（n + 1）/ 2。还考虑diamod图的n（n + 1）/ 2个副本。现在，对于每个i，将D_i的一个外部顶点连接到C1的第i个顶点，并将另一个外部顶点连接到C2的第i个顶点。然后，通过该过程获得的图H2是3正则的，并且具有自数幂的指数，因为每个D_i的内部顶点可以分别交换。

— Mateus de Oliveira Oliveira 2015年

现在，对于H1的每个顶点v_j，我们将v_j的2j边添加到菱形的内部顶点，使得菱形D_i的两个内部顶点都连接到H1的相同顶点。这保证了菱形的内部顶点仍然可以交换，因此图G2中的自同构总数是指数的。

— Mateus de Oliveira Oliveira 2015年

容易显示订单的连通图

n

$n$ 和最大化合价

k

$k$ 最多具有顺序同构群

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$ 。求出顶点的顺序，从第二个顶点开始，每个顶点与至少一个之前的顶点相邻。让

G_{i}

$G_i$ 是固定第一个的子组

i

$i$ 顶点。这是子群的下降链，

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$ 和

G_{n} = 1

$G_n=1$ 。它遵循轨道稳定定理，即

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$ 和

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$ 对于

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$ 。

— 垂直

如果允许断开图的连接，则相对于顶点数，没有好的上限。

对于 $r$ -正则图采用 $l$ 完整图 $K_{r+1}$ 。然后图有 $(r+1)\cdot l$ 顶点，以及 $(r+1)!\cdot l!$ 自同构。

— 花托
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