有什么证据表明图同构不在？

通过在我的岗位Fortnow的评论，有上进心有证据表明图同构问题不是 -完整$NP$ G I N P N P P G I P，并通过一个事实，即为总理候选人 -中间的问题（没有在-complete也不），我很感兴趣已知证据即是不是在。$GI$$NP$$NP$$P$$GI$$P$

一种这样的证据是受限图形同构的问题-completeness（定点自由图形同构的问题是 -complete）。Lubiw 在“ 类似于图同构的一些NP完全问题 ”中研究了这一问题和其他概括。有些人可能会争辩说，尽管有超过45年的历史，但没有人发现多项式时间算法。$NP$$NP$G $GI$$GI$

我们还有什么其他证据可以证明不在呢？$GI$$P$

在提出这个问题之前，我的观点是图同构可能存在于P中，即没有证据认为GI不存在于P中。所以我问自己，什么可以作为我的证据：如果存在针对成熟算法-群同构，充分利用可用结构 -基团和仍然没有希望实现多项式运行时间的话，我会同意，GI可能不是在P.有已知的算法，利用像现有的结构同构测试的 -组。奥布莱恩（1994）p p$p$$p$$p$，但我还没有足够详细地阅读它，以判断它是否充分利用了可用的结构，或者是否有希望改进此算法（不利用 -group的其他非显而易见的结构）以实现多项式运行时。$p$

但是我知道Dick Lipton要求在2011年底前采取行动，以弄清总体上组同构问题，特别是组同构问题的计算复杂性。所以我用谷歌搜索$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

以查看行动呼吁是否成功。确实是：

1. 组同构问题：可能的Polymath问题？
2. 群同构研究进展
3. CCC中的三个：组同构性的进展

最后一篇文章回顾了一篇论文，该论文为某些重要的族群实现了运行时，利用了许多可用的结构，并认可了上述1994年以来的论文。因为运行时绑定既与图同构在实践中并不难的经验兼容，又与没人能提出多项式时间算法（甚至对于组同构）的经验兼容，这可以被视为GI不在P中的证据。 n O （日志log n $n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

您必须检查以确保黑盒设置中不存在非平凡的排列的最小排列集比但仍然是指数，即OEIS A186202。$n!$

存储未标记图所需的位数为。见Moni的Naor。“一般未标记图的简洁表示。” 离散应用数学28.3（1990）：303-307。如果我记得的话，压缩方法的证明会更干净一些。无论如何，让呼叫设置。对于标记的图，令。（$log_{2}$${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

$U^L$和如果转换为指数）。仅检查它们的类型签名，将图以规范形式显示就容易了，但是如上图所示，GC使GI变得容易。$Bool^{L^{L}}$

Kozen在他的论文《相当于图同构的集团问题》中给出了不在的证据。以下是论文的内容：$GI$$P$

“尽管如此，找到用于图同构的多项式时间算法可能与找到用于NP完全问题的多项式时间算法一样困难。为支持这一说法，我们提出了一个与图同构相同的问题，即小扰动其中是NP完整的。”

同样，Babai在他最近的突破性论文《准多项式时间内的图同构》中提出了反对有效GI算法存在的论点。他观察到，组同构问题（可简化为GI）是将GI放入的主要障碍。组同构问题（组由其Cayley tableis给出）可以在，并且不知道在。$P$$n^{O(\log n)}$$P$

以下是Babai论文的摘录：

本文的结果放大了群体同构问题（和提出的挑战问题）作为将GI放置在P中的障碍的重要性。GI的中间状态（既不是NP完全的，也不是多项式时间的）也很可能将持续存在。

这是其他尚未引用的结果

• 关于图同构的硬度 /ToránFOCS 2000和SIAM J. Comput。33，5 1093-1108。

  我们表明，图同构的问题是下DLOGTIME均匀AC硬⁰许多酮削减用于复杂类NL，PL（概率对数空间），用于每对数空间模块化类国防部_ķ L和对于问题的类DET NC ¹还原为行列式。这些是关于图形同构问题的最强的已知硬度结果，意味着从对等图的完全匹配问题到对数空间的随机减少。我们还研究了图形自同构问题的硬度结果。

• 图同构不是AC ⁰可归结为组同构 / Chattopadhyay，Toran，Wagner

  当输入结构由乘法表明确给出时，我们为组和拟组同构问题提供了新的上限。我们表明，这些问题可以通过具有O（log log n）深度和O（log ² n）个不确定位的无界扇入的多项式大小不确定性电路来计算，其中n是组元素的数量。这从[Wol94]改善了问题的现有上限。在先前的上限中，电路限制了扇入，但深度为O（log ² n）以及O（log ² n）不确定位。然后，我们证明了上限的电路类型无法计算奇偶校验函数。由于奇偶校验为AC ⁰可归结为图同构，这意味着在AC ⁰归约定义的顺序下，图同构严格比组或拟组同构更难。