使用XOR门的最小电路尺寸

假设我们得到了一组n个布尔变量x_1，...，x_n和一组m个函数y_1 ... y_m，其中每个y_i是这些变量（给定）子集的XOR。目标是计算要计算所有这些y_1 ... y_m函数所需执行的XOR运算的最小数量。

请注意，XOR运算的结果（例如x_1 XOR x_2）可用于多个y_j的计算，但被计为1。另外，请注意，为了更有效地计算y_i，计算x_i的更大集合（比任何y_i函数大，例如，计算所有x_i的XOR）可能对XOR有用，

等效地，假设我们有一个二进制矩阵A和一个向量X，目标是计算向量Y使得AX = Y，其中在GF（2）中使用最小数量的运算完成所有运算。

即使当A的每一行都恰好有k个（例如k = 3）时，也很有趣。有人知道这个问题的复杂性（近似难度）吗？

穆罕默德（Mohammad Salavatiopur）

这是NP难题。参见：琼·博亚尔，菲利普·马修斯，雷内·佩拉尔塔。逻辑最小化技术及其在密码学中的应用。http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

减少来自Vertex Cover，非常好。

$(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

减少正确的证据不是很好。我希望看到一个简短的证明，这种减少是正确的。