对于P中的哪些问题，验证结果比查找结果容易吗？

对于NP完全问题（搜索版本），验证解决方案显然比查找解决方案容易，因为验证可以在多项式时间内完成，而找到证人则需要（可能）指数时间。

但是，在P中，解决方案也可以在多项式时间内找到，因此当验证比找到解决方案快时，它似乎并不明显。实际上，从这个角度来看，不同的问题似乎表现出不同的行为。一些例子：

1. 3SUM：给定输入数字，在其中找到3个总和为0。据我所知，最快的已知算法在 时间内运行，并且此顺序被推测为最佳。另一方面，解决方案的验证要快得多，因为我们要做的只是检查所找到的3个数字的总和是否为0。O （n 2 − o （1 ）$n$$O(n^{2-o(1)})$

2. 全对最短路径： 给定具有边权重的图形，计算其最短路径距离矩阵。一旦给出这样的矩阵，是否可以比重新计算更快地检查它是否确实是正确的距离矩阵？我的猜测是，答案可能是肯定的，但肯定不如3SUM明显。

3. 线性规划。如果给出了要求保护的最优解决方案，则在还给出辅助信息的情况下，检查比重新计算要容易得多（最优对偶解决方案）。另一方面，如果仅原始解决方案可用，则不清楚是否可以比实际解决LP更快地对其进行检查。

问题：对这个问题了解多少？也就是说，什么时候比P容易找到解决问题的方法？

已知给定一个图G和一个树T，可以在线性时间内验证T是G的最小生成树。但是我们还没有确定的线性时间算法来计算MST。当然，差距很小（1 vs），但是它仍然存在:)）$\alpha(n)$

本文表明，对于3个问题，包括最大流，3SUM和APSP，都有针对3个问题的YES和NO实例的验证算法，这些算法的多项式系数比计算解决方案本身的已知范围要快。

存在一类问题，即改善运行时间的问题是SETH难题，其用于验证NO实例的运行时间不可能比计算解决方案的时间明显快得多，否则本文的猜想称为“不确定性”强指数时间假说将失败。

对于某些问题，似乎没有什么区别。Vassilevska Williams＆Williams特别指出：

• 对于布尔矩阵乘法，计算矩阵乘积并验证次乘等效矩阵乘积，这意味着它们要么都具有次立方时间算法，要么都没有。

• 对于任何“扩展（最小，+）结构”的矩阵乘积计算和验证，也是如此（有关定义，请参见论文，但这包括许多自然问题）。

（现在，当然，这些问题都有可能是亚三次方算法，然后在计算和验证之间可能存在多项式差异，但对于这些问题却没有三次方差异。在我看来，事实上，它们全都需要立方时间。）

• $\Omega(n)$$\Omega(\log n)$

  $O(1)$

• $\Omega(n \log n)$$O(n)$

我认为，许多示例都来自我们修复一个或多个参数时NP中的NP完全问题。

$k$$k$$k$

$k$$P=NP$$k$$\Omega(n^k) )$

$k$

$\tilde{O}(n^6)$$\tilde{O}(n^3)$

$O(n^{2-\epsilon})$

$\sf{P}$$\Omega(n^{1-\epsilon})$

$O(n^2/\log n)$