对于P中的哪些问题,验证结果比查找结果容易吗?


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对于NP完全问题(搜索版本),验证解决方案显然比查找解决方案容易,因为验证可以在多项式时间内完成,而找到证人则需要(可能)指数时间。

但是,在P中,解决方案也可以在多项式时间内找到,因此当验证比找到解决方案快时,它似乎并不明显。实际上,从这个角度来看,不同的问题似乎表现出不同的行为。一些例子:

  1. 3SUM:给定输入数字,在其中找到3个总和为0。据我所知,最快的已知算法在 时间内运行,并且此顺序被推测为最佳。另一方面,解决方案的验证要快得多,因为我们要做的只是检查所找到的3个数字的总和是否为0。O n 2 o 1 nO(n2o(1))

  2. 全对最短路径: 给定具有边权重的图形,计算其最短路径距离矩阵。一旦给出这样的矩阵,是否可以比重新计算更快地检查它是否确实是正确的距离矩阵?我的猜测是,答案可能是肯定的,但肯定不如3SUM明显

  3. 线性规划。如果给出了要求保护的最优解决方案,则在还给出辅助信息的情况下,检查比重新计算要容易得多(最优对偶解决方案)。另一方面,如果仅原始解决方案可用,则不清楚是否可以比实际解决LP更快地对其进行检查。

问题:对这个问题了解多少?也就是说,什么时候比P容易找到解决问题的方法?


7
我认为,许多例子都来自我们修复某些参数时NP中的NP完全问题。例如,如果检查的曲线图中包含尺寸的集团固定。验证需要线性时间,但是除非P = NP,否则搜索问题(多项式)的复杂度取决于ķ ķkkk
Marzio De Biasi

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我们可以验证使用比较对整数列表进行排序,但是需要使用比较来对未排序的列表进行排序。Ñ - 1 Θ Ñ 登录Ñ nn1Θ(nlogn)
托马斯(Thomas)

7
您是否想轻松地确定是否存在决策问题实例?对于3SUM,虽然很容易在恒定时间内验证yes实例,但我不知道是否容易验证no instance。还是您在考虑存在非布尔输出(例如矩阵乘法)的问题时,是否在考虑更多问题?(如果允许随机算法,矩阵乘法是您想要的示例。)
Robin Kothari'Roman Kothari

3
“另一方面,解决方案的验证要快得多,因为我们要做的只是检查所找到的3个数字的总和是否为0。” -我们还需要检查找到的3个数字实际上是输入的一部分。
hvd 2015年

3
我们是否知道不容易进行验证的问题?
拉斐尔2015年

Answers:


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已知给定一个图G和一个树T,可以在线性时间内验证T是G的最小生成树。但是我们还没有确定的线性时间算法来计算MST。当然,差距很小(1 vs),但是它仍然存在:))α(n)


4
也许可以公平地说,有一种在预期的线性时间内运行的随机算法(Karger-Klein-Tarjan算法)。
Sasho Nikolov

2
另外,如果有人想要链接,这是我所知道的最简单的线性时间MST验证算法:webhome.cs.uvic.ca/~val/Publications/Algorithmica-MSTverif.ps
Sasho Nikolov

20

本文表明,对于3个问题,包括最大流,3SUM和APSP,都有针对3个问题的YES和NO实例的验证算法,这些算法的多项式系数比计算解决方案本身的已知范围要快。

存在一类问题,即改善运行时间的问题是SETH难题,其用于验证NO实例的运行时间不可能比计算解决方案的时间明显快得多,否则本文的猜想称为“不确定性”强指数时间假说将失败。


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对于某些问题,似乎没有什么区别。Vassilevska Williams&Williams特别指出

  • 对于布尔矩阵乘法,计算矩阵乘积并验证次乘等效矩阵乘积,这意味着它们要么都具有次立方时间算法,要么都没有。

  • 对于任何“扩展(最小,+)结构”的矩阵乘积计算和验证,也是如此(有关定义,请参见论文,但这包括许多自然问题)。

(现在,当然,这些问题都有可能是亚三次方算法,然后在计算和验证之间可能存在多项式差异,但对于这些问题却没有三次方差异。在我看来,事实上,它们全都需要立方时间。)


2
另一方面,对于在足够大的字段中的矩阵乘法,存在用于验证的二次时间随机算法,而用于计算乘积的最快运行时间为nΩ。
Thatchaphol

2
@Thatchaphol:是的,尽管许多人相信omega = 2 ...而且,广为人知的是布尔矩阵乘法(即在布尔和/或半环上计算矩阵倍数)与在a上的矩阵乘法有些不同。领域。
Joshua Grochow

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  • Ω(n)Ω(logn)

    O(1)

  • Ω(nlogn)O(n)


2
Ω(nlogn)O(1)

O(n)

Θ(n)



3

O(n2ϵ)

PΩ(n1ϵ)

O(n2/logn)

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