平面图的树分解

首先在math.SE上提问，没有回复。

1. 假设我有一个带有平面嵌入的平面图，如何找到树分解？
2. 什么是a的最佳树分解 $d$-通过-$d$方格？尚未完全确定如何定义“最佳”，但应区分一个大袋子分解与许多大袋子分解。

如果您真正想要的是一个良好的消除顺序，那么您可能正在寻找广义的嵌套解剖。这是利用平面图的良好分隔符给出的策略$O(n^{\omega/2})$ 用于来自平面图的矩阵的高斯消除，行列式等算法。

对于第一个问题，这是开放是否找到了平面图树分解可以在多项式时间内完成。最好的近似算法可能是Seymour和Thomas 的RatCatcher算法，该算法计算平面图的分支宽度，因此根据分支宽度和树宽之间的关系，它的近似比率为1.5。

对于第二个，我们有以下关于定理的树宽的定理 $k \times k$ 网格：

定理。一个$k \times k$ 网格具有树宽 $k$。

袋子可以随身携带 $k+1$，总计 $k(k-1)$袋。我不确定这是否是您想要的，因此，如果您修改“最优”的定义，请随时进行操作。

如果您不希望进行最佳的树分解，则可以通过递归计算分隔符来构建树分解。