相变在NP完全问题中有多普遍？

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众所周知，许多NP完全问题都表现出相变。在这里，我对语言的包容性而不是相对于算法的输入强度而言，对相变感兴趣。

为了使该概念明确，让我们正式定义如下。语言表现出相变（相对于包容性），如果 $L$

有一个顺序参数 ，它是实例的多项式时间可计算的实数值函数。 $r(x)$
有一个阈值。它可以是实常数，也可以取决于即。 $t$ $n=|x|$ $t=t(n)$
几乎每一个与，我们有。（这里几乎每种方法：几乎消失，即的比例接近1 ）。 $x$ $r(x)<t$ $x\in L$ $n\rightarrow\infty$
几乎每一个 $x$ 与，我们有。 $r(x)>t$ $x\notin L$
对于几乎每个，它都具有。（也就是说，过渡区域是“狭窄的”。） $x$ $r(x)\neq t$

从这个意义上讲，许多自然的NP完全问题都表现出相变。示例包括SAT的多种变体，所有单调图属性，各种约束满足问题，可能还有许多其他问题。

问题：哪些“不错”的例外？是否有一个天然的NP完全问题，它（可能）不不具有在上述意义上的转变？

cc.complexity-theory phase-transition

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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您可能想重新构造条件5，因为可以通过向

添加少量噪声以确保对于任何

不等于

来轻松地避免这种情况。将

限制为

函数且

（都可以通过wlog完成），一个反例将是一个NP完全问题，没有算法（一个计算

）可以可靠地猜测，即使是困难的从均匀分布中选择实例。我的猜测是您打算让

没有那么多的表达能力。

t

$t$

r (x)

$r(x)$

x

$x$

r

$r$

\pm 1

$\pm 1$

t = 0

$t = 0$

r

$r$

r

$r$

— Yonatan N

因此，如果您如上所述定义一个相变，则很可能存在硬性实例-在NP完全问题的情况下，问题是可能研究问题的某些性质（证明），从而最有可能出现硬性实例。相反，如果有证据，那么很容易出现实例。例如，随机图可能在相变附近具有边缘密度，这可能会影响问题的解决难度。

— user3483902

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该领域的专家研究人员基本上断言，相变是NP完全问题的普遍特征，尽管这尚未得到严格的阐述/证明，并且尚未在更大的领域得到广泛的认可/传播（它更多地来自于经验导向的研究）。研究分支）。这几乎是一个开放的猜想。有确凿的证据。对于非相变NP完全问题，没有合理的候选对象。这是两个支持此pov的裁判：

NP完全问题的相变：概率论，组合论和计算机科学的挑战 / Moore
相变行为 /沃尔什（ppt）

这是断言真相的粗略概图。它与NP中包含的P有关。NP完整问题/语言必须具有在P时间内可解决的实例，如果P≠NP，则必须在指数（或至少是超多项式）时间内可解决的实例。但是必须始终有某种方法可以将“非P”实例中的“ P”实例“分组”。因此，P实例和非P实例之间也必须始终有一些“转换标准”。简而言之，也许这种现象本质上与P≠NP耦合！

另一个粗糙的论点是：所有NP完全问题都可以通过归约互换。如果一个相变被发现，则必须在所有这些相变中都被发现。

对此有更多的间接证据，最近（〜2010年）表明，相变出现在单调电路的下限，用于随机图上的集团检测。

检测集团的平均案件复杂度 / Rossman

完全公开：Moshe Vardi特别研究了SAT中的相变，并在此演讲/视频中形成了对比鲜明的怀疑态度。

相变和计算复杂度

— z
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关于Moshe Vardi的良好链接，谢谢！只是为了指出要点，NP完全合奏的相变并不意味着实例复杂性有困难。M. Vardi没有提及它，但是调查传播解决了3SAT临界阈值（正值）附近有数百万个变量/子句的实例，并且一段时间以来，人们几乎肯定有鄂尔多斯HAM循环的多项式时间算法-Renyi随机图。

— user834

0

采取图如图表，它们在随机从具有所有图的集合统一选择图表节点和 edges.This种图表已预期edges- $G_{n,m}$ $n$ $m$ 。随机图图的相变对于发现哈密顿循环并不困难。该论文为http://arxiv.org/pdf/1105.5443.pdf。本文中的相变没有如上定义，但是它们表明，具有哈密顿性的哈密顿循环问题的硬实例与非哈密顿性之间存在相关性。 $\binom{n}{2}$ $m$ $G_{n,m}$

— 用户名
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所链接的论文恰恰相反，在鄂尔多斯-仁伊随机图中哈密顿循环的相变显示出相变（出现哈密顿循环的可能性），但是在计算难度上却没有明显提高。众所周知，在相变的任何地方，甚至在临界阈值处，都有几乎确定的针对鄂尔多斯-仁伊随机图的概率多项式时间算法。对不起，这个答案我要打个比方。

— user834 2013年

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D正则图的C着色具有一系列离散过渡，除非您进行拉伸，否则不特别定相。

这是着色结果表，我将提交给SAT17。请注意，除少数示例外，不可能对6个规则图进行3种着色。同样，第十度图形有4种着色... C3D5N180图形有些困难。C4D9 Golden Point暂定为C4D9N180；C4D9图形是我遇到的最困难的4cnfs，因此C4D9可以称为“硬点”。推测C5D16黄金点存在，但是会在从5色到6色的硬点区域中。

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

着色公式的每个顶点都有lgC变量，总共有lgC * N个变量。边缘具有C个着色子句，总共C * M个子句。每个顶点有一些其他子句可以排除额外的颜色。黄金点是最小的N，因此：具有N个顶点的D度图上的C着色度几乎总是可以满足的，概率接近1。对于高概率，可以满足N个随机实例。对于非常高，N * N是可满足的。对于超高，可以满足N * N * N个随机实例。

高概率（1-1-N）金色着色点是：

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180？C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

极高概率（1-1 /（N * N））金色着色点是：

C3D5N230？C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

超高概率（1-1 /（N * N * N））金色着色点是：

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72？C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

研究中所有随机实例均令人满意。线性概率点检查了数百个可满足的公式。二次概率点检查了数以万计的可满足公式。三次概率点检查了数十万个可满足的公式。C4D9和C5D13点很困难。推测C5D16点存在。五分之一可着色的十六度随机实例将证明这一猜想。

— 丹尼尔·皮奥谢克
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