MSO可明确表示的次要封闭属性

下面，MSO表示具有顶点集和边集量化的图的单子二阶逻辑。

令 $\mathcal{F}$ 为图的次要封闭族。从罗伯逊和西摩的图未成年人理论可以得出，的特征是禁止未成年人的有限列表。换句话说，对于每个图，当且仅当将所有图排除为未成年人时，我们属于。 $\mathcal{F}$ $H_1,H_2,...,H_k$ $G$ $G$ $\mathcal{F}$ $G$ $H_i$

由于这个事实，我们有一个MSO公式，当且仅当图才是真。例如，平面图的特征在于不存在的图和，因此很容易明确地写出表征平面图的MSO公式。 $\varphi_{\mathcal{F}}$ $G$ $G\in \mathcal{F}$ $K_{3,3}$ $K_5$

问题在于，对于许多不错的未成年人闭合图属性，禁止未成年人的列表是未知的。因此，尽管我们知道存在描述图族的MSO公式，但我们可能不知道该公式是什么。

另一方面，可能的情况是，人们可以为给定的属性想出一个明确的公式，而无需使用图次要定理。我的问题与这种可能性有关。

问题1：是否有未成年人的闭合图族，以使禁止未成年人的集合未知，但是一些表征该 MSO公式是已知的？ $\mathcal{F}$ $\varphi$

问题2： 是否已知一些明确的MSO公式可以表征以下某些属性？ $\varphi$

属1（图形可嵌入圆环中） （请参见下面的EDIT）
固定属k （请参见下面的EDIT） $k>1$
某些固定 k外平面 $k> 1$

我希望在此问题上有任何参考或想法。请随时考虑其他次要封闭属性，上面给出的列表仅用于说明。

Obs：明确地说，我不一定意味着很小。给出一个明确的参数或算法足以显示如何构造表征给定属性的公式就足够了。同样，在这个问题的背景下，如果有人给出了构造该家庭的显式算法，我认为这是一个禁止的未成年人家庭。

编辑：我找到了Adler，Kreutzer，Grohe的一篇论文，该论文根据k-1属的特征图来构造一个表征属的图的公式。因此，本文回答了问题2的前两个问题。另一方面，它却没有回答问题1，因为确实存在一种算法，它为每个k构造了表征k属图的禁止未成年人家族（请参阅第4.2节）。因此，这个家庭在问题的意义上是“知名的”。 $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
source

任何禁止的未成年人类别都可以通过为无限多个禁止的未成年人中的每一个禁止无限数量的子图来表示。因此，您在问：是否存在一个次要封闭的图类，以使（隐式存在的）无限MSO定义被一个有限的MSO公式（我们明确知道）所取代，该定义逐一禁止这些无限多个子图的每一个？哈德维格猜想对于每个

具有这种形式，因为

着色性可由有限的MSO公式表示。如果猜想为真，则这些是

次要图，但这是开放的。

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

K_{k}

$K_k$

— 安德拉斯·萨拉蒙

我认为可以将圆环上的可嵌入性明确表示为“图形可以分成两个平面部分”或类似的东西，对于更高的属类也是如此。

— EmilJeřábek在2013年

感谢您的建议Emil。我发现了一篇论文，根据k-1属的公式表征图构建了k属的公式表征图。另一方面，这不能回答我的问题。参见编辑。

— Mateus de Oliveira Oliveira

@AndrásSalamon-在显式且有限的MSO表达式中表达禁止的未成年人很容易。问题是我们不一定知道禁止哪个未成年人。

— David Eppstein 2016年

@DavidEppstein：啊，错过了：谢谢，所以我的评论的第一部分可以简化。但是，

-Hadwiger似乎仍在回答Q1？我们为每个

有一个未定的未成年人

单身集合，但是“仅”缺乏证明

-minor-free与MSO公式

“

有色”。

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

ϕ_{k} =

$\phi_k =$

(k - 1)

$(k-1)$

— 安德拉斯·萨拉蒙

我在这里有一个涉及顶点图的答案，但是它未能定义没有在此问题中给出的显式阻塞集的定义：存在一种已发布的算法来查找阻塞集，即使运行速度太慢也是如此，因此我们实际上并不知道什么是障碍物。

因此，这是另一个没有该缺陷的可参数化答案系列（至少，据我所知）。给定一个小家族关闭，和一个整数，做给定的图具有 -ply 覆盖图在？关于这种问题的很多问题仍然未知：特别是，能证明具有平面覆盖图的图形的Negami猜想尚未得到证实。它是次要关闭的，因为从制作次要的任何步骤都可以复制到封面中。 $F$ $k\ge 1$ $G$ $k$ $F$ $G$

要在MSO 中测试中的层覆盖层的存在，请执行以下步骤： $k$ $G$ $F$ $_2$

使用depth-first-search-tree技巧获得的（任意）方向。 $G$
对于每一对与，选择一组中的边缘的，据说其具有覆盖边缘，从帘布层去的那些到帘布层。 $(i,j)$ $0\le i,j<k$ $G$ $i$ $j$
检查每个层中的每个顶点是否具有每个入射边缘的一个副本，并确保此信息表示的有效覆盖图。 $G$
在覆盖图上模拟基于障碍集的成员资格的公式。 $F$

— 大卫·埃普斯坦
source

大卫，如果我不遗漏任何东西，Adler-Kreutzer-Grohe-2008提供了一种算法，可以为appex-C计算排除的次要特征，但前提是您输入C类的次要特征。但是这种算法可能效率不高。我认为Addler希望被appex-PLANAR排除的未成年人名单很小，因此她要求一个明确的名单，因为使用他们的算法来构造它太复杂了。我对一个MSO公式已知的属性感兴趣，但是没有一个用于构造未成年人的算法。

— Mateus de Oliveira Oliveira

对于任何次要封闭的类C，在C中具有覆盖的图形的类别都是次要封闭的吗？

— 丹尼斯

是。请参阅我的答案中有关“并且由于...未成年人而关闭”的句子。

— David Eppstein'2

感谢您的新答案。直到现在我都没有看到答案已被编辑。

— Mateus de Oliveira Oliveira