1个变量的显式多项式具有超对数电路复杂性下限？

通过计数参数，可以表明，存在n次多项式中1个变量（即，形式的东西，其具有电路复杂ñ。而且，可以证明像这样的多项式至少需要对乘法（您只需要得到足够高的次数即可）。1个变量中是否有任何多项式的显式示例，其复杂度具有超对数下限？（任何字段的结果都会很有趣） $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— 马特·黑斯廷斯
source

您是否想过有限范围内电路复杂度为

的示例？我看不到计数论点如何在无限领域内发挥作用，而且我很确定帕特森·斯托克梅耶（Paterson-Stockmeyer）的

n

$n$

边界很紧（另请参见下面的答案）。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— 约书亚·格罗夫

您提到的sqrt（n）边界只是乘法数（在任何字段上）的上限，但是如果我们将加法和乘法都算作运算，那么对于几乎每个多项式，我们都需要在无限字段上进行n次运算，因为多项式中有n个不同的系数，并且无法用少于n个运算来评估所有可能的多项式（我不确定是否应该将其称为计数参数）。

— 马特·哈斯汀

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

我的意思是：该电路由加法和乘法门组成。给定门的输入可以是先前门的输出，x或某些常数。问题是：对于给定的多项式，我们可以找到一个电路并选择该电路中的常数进行计算吗？但是，我们有一个（n + 1）维多项式空间，但是如果我们固定一个少于n个门的电路结构（用“结构”表示，我的意思是哪个门使用哪个其他门的输出）并考虑所有常量的可能选择会给可计算的多项式提供小于n维的空间。

— 马特·黑斯廷斯

顺便说一句-我得到的印象是，在R或C上构造显式示例，而对系数没有进一步限制，大多数解决了。另一方面，构造所有系数a_i为整数且增长不很快的显式示例，它仍然开放吗？您提到的调查中有一个示例，其中包含所有整数常量，但它们呈指数增长。

— 马特·黑斯廷斯

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

以下多项式在的对数因子内 $\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

谢谢。因此，似乎存在一个开放的问题，即如果您将加法也算作运算，那么可以构造一个需要多于sqrt（n）个运算的多项式，从而构造一个需要n个运算的多项式。有什么结果吗？（我对此表示怀疑，因为在只需要sqrt（n）乘法的方法中，这些加法给出了一些矩阵乘法，这很可能会降低矩阵标量乘法的复杂度的下限。）

— matt hastings 2010年