计算读两次相对CNF式的奇偶的复杂性（

在两次相反的CNF公式中，每个变量出现两次，一次为正，一次为负。

我感兴趣的的问题，其中包括在计算读两次相对CNF式满足指配的数量的奇偶性。$\oplus\text{Rtw-Opp-CNF}$

我找不到有关此类问题的复杂性的任何参考。我能找到最接近的是，计数版本是＃P -complete（参见6.3节本文）。$\#\text{Rtw-Opp-CNF}$$\#\text{P}$

在此先感谢您的帮助。

2016年4月10日更新

• 在本文中，问题证明是⊕ P -complete，但是通过减少从制造的式3 SAT是不是在CNF，并且只要你尝试将其转换回CNF你得到一个三次读取公式。$\oplus\text{Rtw-Opp-SAT}$$\oplus\text{P}$$3\text{SAT}$
• 单调版本被示出为⊕ P -complete在本文。在这样的纸，⊕ RTW-OPP-CNF迅速在部分4的端部中提到：勇士说，这是简并的。对我来说不清楚变质的确切含义，也不意味着硬度。$\oplus\text{Rtw-Mon-CNF}$$\oplus\text{P}$$\oplus\text{Rtw-Opp-CNF}$

2016年4月12日更新

这将是也很有趣知道是否有人曾经研究过的复杂问题。给定两倍于CNF公式的对数，该问题要求计算变量的奇数设置为true的满意分配数与变量的偶数设置为true的满意分配数之间的差。我还没有找到关于它的文献。$\Delta\text{Rtw-Opp-CNF}$

2016年5月29日更新

正如在他的评论中指出埃米尔耶扎贝克，这是不正确的，勇敢的说，这个问题是退化。他只说，这样的问题更受限制的版本，⊕ PL-RTW-OPP-3CNF，是堕落。同时，我仍然不知道退化的确切含义，但至少现在看来，这显然是缺乏表达能力的代名词。$\oplus\text{Rtw-Opp-CNF}$$\oplus\text{Pl-Rtw-Opp-3CNF}$

事实证明，每个对立两次阅读公式都有偶数个令人满意的赋值。这是一个很好的证明，尽管可以消除图论术语。

令为CNF公式的两倍。在不失一般性的前提下，没有子句既包含变量又包含其否定词。$\phi$

考虑图其顶点集合是各条文φ，并且对于每个变量X，我们添加一个（无向）边缘入射在含有两个子句X。ϕ中的 WLOG假设表示该图没有自环。此外，考虑通过定义它的变量来标记每个边缘。这样我们可以区分平行边。$G$$\phi$$x$$x$$\phi$

的方向是一个有向图，其边缘是通过将方向分配给G中的每个边缘而形成的。打电话的方位摹受理如果每个顶点摹有一个外出边缘。很容易看出，对satisfy的满意赋值与G的可接受方向是双射的。$G$$G$$G$ $G$$\phi$$G$

现在，我声称的容许取向数是偶数。参数是“通过对合”：我构造具有以下属性的映射Φ：$G$$\Phi$

1. 是完全定义的（每个允许的方向都映射在某处）$\Phi$
2. 将允许的方向发送到允许的方向$\Phi$
3. 是对合（ Φ ○ Φ是单位）$\Phi$$\Phi \circ \Phi$
4. 没有固定点$\Phi$

一旦建立了这些，我们就可以观察到的轨道的大小为2并划分了G的允许方向。由此可见，允许的取向数量是偶数。$\Phi$$G$

为了定义，令→ G为允许的方向，并考虑将→ G分解成牢固连接的组件。然后，Φ将→ G发送到通过反转强连接的组件内的所有边缘形成的方向。然后直接检查属性：$\Phi$$\vec{G}$$\vec{G}$$\Phi$$\vec{G}$

1. 每个有向图都可以分为紧密连接的组件。
2. 考虑一下“强连接组件的DAG” ；称为商图。请注意，Φ（ → G）将具有相同的商结构，因为Φ不会影响SCC之间的边，并且强连通图在反转其所有边时仍保持强连通。另外，如果一个SCC具有多个顶点，则其所有构成顶点都具有传入边缘。如果SCC仅具有一个顶点并且不是商的源，则其所有构成顶点都具有输入边。因此显示Φ（ → G$\vec G$$\Phi(\vec G)$$\Phi$$\Phi(\vec G)$可以接受，足以表明作为商源的SCC具有多个顶点。但这是由于以下事实：组件中的每个顶点都有一个输入边，该边必须来自组件中的另一个顶点，因为没有自环，并且组件是商的源。$G$
3. 这是由于的商结构与→ G的商结构一致。$\Phi(\vec G)$$\vec G$
4. 根据可受理性，有一个循环，因此有些SCC内部有边。$\vec G$

我不确定我的想法是否可以理解，因此我将在Giorgio的示例中进行解释：

$( x_1 \lor x_2 \lor x_3 ) \land ( \lnot x_1 \lor \lnot x_3 \lor x_4 ) \land ( \lnot x_4 \lor x_5 ) \land ( \lnot x_2 \lor \lnot x_5 \lor \lnot x_6 )$

首先，我需要在DNF表单上进行更改：

$( x_1 \land x_2 \land x_3 ) \lor ( \lnot x_1 \land \lnot x_3 \land x_4 ) \lor ( \lnot x_4 \land x_5 ) \lor ( \lnot x_2 \land \lnot x_5 \land \lnot x_6 )$

这应该给出相同的答案。而且无论我是否为此计算模2的解数：

$( x_1 \land x_2 \land x_3 ) \lor ( \lnot x_1 \land \lnot x_3 \land x_4 ) \lor ( \lnot x_4 \land x_5 ) \lor ( \lnot x_2 \land \lnot x_5 \land \lnot x_6 )$

或为此：

$( x_1 \land x_2 \land x_3 ) \lor ( \lnot x_1 \land \lnot x_3 \land x_4 ) \lor ( \lnot x_4 \land x_5 ) \lor ( \lnot x_2 \land \lnot x_5 \land \lnot x_6 )$

所以我选择第二个。我有牵连：

$i_0$$( x_1 \land x_2 \land x_3 )$

$i_1$$( \lnot x_1 \land \lnot x_3 \land x_4 )$

$i_2$$( \lnot x_4 \land x_5 )$

$i_3$$( \lnot x_2 \land \lnot x_5 \land \lnot x_6 )$

现在，我正在建立方程系统：

${j_0}\oplus{j_1} = 1$

${j_0}\oplus{j_3} = 1$

${j_0}\oplus{j_1} = 1$

${j_2}\oplus{j_3} = 1$

${j_3} = 1$

$x_6$

$\oplus\text{Rtw-Opp-CNF}$${f(X)}\oplus{g(X)}$$f(X) \wedge g(X)$$f(X)$$g(X)$

$i_0\oplus{i_1}\oplus{i_2}\oplus{...}\oplus{i_{n-1}}$

$i_j$$x_0\wedge{x_1}\wedge{\neg{x_2}}$

$2^k$$i_0\oplus{i_1}\oplus{i_2}\oplus{...}\oplus{i_{n-1}}$

$i_0\vee{i_1}\vee{i_2}\vee{...}\vee{i_{n-1}}$

$a\vee{b} = a\oplus{b}\oplus({a\wedge{b}})$

1）具有所有变量，

2）每个变量都恰好出现一次（如果变量出现两次，则我们在一个蕴含项中具有正负，因此将其设为0）。

$x_0$$i_0$$x_0$$i_1$。然后我们可以写和等式：

${j_0}\oplus{j_1} = 1$

${j_0}$${j_1}$$i_0$$i_1$$i_0$$j_0$$j_0$$2^l$