随机预言可以改变哪些TFNP问题非常难以平均吗？

自从我在密码学上看到这个问题以来，我一直在思考以下问题 。

题

让 $R$是TFNP关系。随机预言可以帮助P / poly
打破$R$具有不可忽略的概率？更加正式地说， $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

是否

适用于所有P / poly算法$A$， $\Pr_x [R(x, A(x))]$可以忽略不计

必然暗示

对于几乎所有 Ø racles $\O$，适用于所有P / poly oracle算法 $A$，$\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$可以忽略不计

？

---

替代配方

相关的预言集是 $G_{\delta\sigma}$（因此是可衡量的），因此通过采取对立并应用Kolmogorov的零一定律，以下公式等同于原始公式。

是否

对于几乎所有 Ø racles $\O$，
存在一个P / poly oracle算法$A$ 这样 $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$不可忽略

必然暗示

存在一个P / poly算法 $A$ 这样 $\Pr_x [R(x,A(x))]$ 不可忽略

？

---

制服情况

这是统一版本的证明：

仅存在许多PPT oracle算法，因此通过空[ideal] [8]的可累加性，存在一种PPT算法 $A$这样，对于一个非空集预言的$\O$，
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$是不可忽略的。让$B$ 成为这样的神谕算法。

同样，让 $c$ 是一个正整数，使得对于非空的一组oracle $\O$，
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ 至少经常是无限的 $n^{-c}$，在哪里 $n$是输入的长度。
通过与Borel-Cantelli相反， $\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$ 是无限的。

通过比较测试，可以无限次地 $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$。

让 $S$ 是[模拟oracle] [12]并运行的PPT算法 $B$ 与那个模拟神谕。

固定 $n$ 然后让 $\Good$ 是神谕的集合 $\O$ 这样 $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$。

如果 $\Good$ 然后不为null

$$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$$ 。

以来 $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ 无限次地 $\Pr_x[R(x,S(x))]$ 不可忽略。

因此，统一版本适用。证明严格地使用了这样一个事实，即
只有许多PPT演算法。这个想法在
不统一的情况下行不通 ，因为存在许多P / poly oracle演算法。

我的头衔是“否”，而我的问题是“是”。实际上，这会立即推广
到每个不使用对手代码的多项式长度游戏。

请注意，我将使用 $C$ 为对手，而不是 $A$，
以便与定理2的表示法相匹配。

假设几乎所有的神谕 $\mathcal{O}$，存在一个P / poly
oracle算法$C$ 这样 $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ 是不可忽略的。

对于几乎所有的神谕 $\mathcal{O}$，存在一个正整数d，使得
存在一系列大小为d + n ^d的电路，使得
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ 无限地大于 $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$。

通过可数可加性，存在一个正整数d，使得对于非空预言集 $\mathcal{O}$，存在大小不超过d + n ^d的一系列电路，使得
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ 无限地大于 $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$。

令j为此类广告，令z为（不必要有效的）oracle算法，该算法
以n作为输入并输出按字典顺序最小大小为j + n的oracle电路$^{\hspace{.03 in}j}$
最大化 $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$。通过Borel-Cantelli的对立，$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$无限多个


对于这样的n

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

。


让$A$ 是需要2个输入的oracle算法，其中之一是 $n$，其操作如下：

选择一个随机的n位字符串 $x$。尝试
[将其他输入解析为oracle电路并在n位字符串上运行该oracle电路]。
如果成功，则oracle电路的输出$y$满足R（x，y），然后输出1，否则输出0。


（请注意，$A$是不是只是对手。）
对于无穷多个N，$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$。
令p如定理2所示，并设置$\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$。


根据定理2，存在一个oracle函数$\mathcal{S}$ 这样与 $\mathcal{P}$按照那个定理，
如果$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ 然后

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$。


对于n这样$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$：

特别是存在 $\big[$甲骨文电路 $C$ 大小最大为j + n$^{\hspace{.03 in}j}\big]$ 和
$\big[$长度最大为f的赋值$\big]$ 这样，通过该输入和预采样，
$A$的输出概率 $1$ 大于 $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$。
大小不超过j + n的Oracle电路$^{\hspace{.03 in}j}$可以用poly（n）位表示，因此对于p而言
，其上方由n中的多项式来界定，这意味着f之上也由n中的多项式来界定。
通过构造$A$，这意味着最多有j + n个预言电路$^{\hspace{.03 in}j}$以及
多项式长度分配，这样当使用该预采样进行运行时，电路找到解的概率大于$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$。Since由于此类电路的查询时间不能超过j + n$^{\hspace{.03 in}j}$位，预采样输入的时间长于可以忽略的时间，因此可以使用随机预言和poly（n）硬编码位高效，完美地模拟这种预采样。这意味着存在多项式大小的预言电路，因此使用标准随机预言电路，这些电路找到解的概率大于$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$。反过来，仅需使用普通的随机位就可以高效，完美地模拟这种随机预言机，因此存在多项式大小的概率非预言电路，其发现解的概率大于$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$。反过来，通过对光随机性进行硬编码，可以找到多项式大小的确定性（非预言）电路，其找到解的概率（在x的选择上）大于$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$。


如该答案前面所示，有无限多个n这样$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$， $\;\;\;$ 所以有一个多项式

在字典上，第n个条目为最小的序列
（大小为C的电路C由该多项式限制），该序列 最大$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

是一种P / poly算法，其找到解决方案的概率（超过x的选择）是不可忽略的。

因此，隐含在我的问题的身体中总是成立。

为了对其他多项式长度游戏具有相同的含义，只需
更改此证明的$A$ 使它具有输入oracle-circuits来玩游戏。