ALogTime！= PH难以证明（并且未知）吗？

将NP与对数空间分开。我在2001年博客发布前的对角化调查中提供了四种方法（第3节），但没有一个方法得到解决。比将P和NP分开要容易得多。

链接调查的第3节声称没有有意义的Oracle崩溃结果：

虽然P！= NP问题仍然非常艰巨，但L！= NP问题似乎更容易处理。我们没有理由认为这个问题很困难。缺乏良好的空间相对化模型意味着L和NP崩溃时，我们没有有意义的预言模型。同样，由于L是统一类，因此Razborov-Rudich [RR97]的限制不适用。

一个有关该站点上L！= NP的相对化障碍的问题得到了一个答案，指出PSPACE完全问题TQBF可以用作预言，以使此类崩溃。关于这是否是有意义的oracle模型的异议似乎也得到了回答。

但是，即使我理解为什么“没有L和NP崩溃的有意义的Oracle模型”被认为是正确的陈述，我仍然会怀疑证明L！= NP是否比证明P！=更可行。 NP。如果证明L！= NP确实比证明P！= NP容易，那么证明ALogTime！= PH应该绝对可以实现。（调查文章暗示可能将与分开。）我想ALogTime！= PH仍然开放，并且我想知道是否有充分的理由期望这将很难证明。 $\Sigma_2^p$ $L$

cc.complexity-theory reductions relativization

— 托马斯·克里姆佩尔
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Lance Fortnow ，2016年5月13日上午7:03：“让我改写我的观点。让AP交替多时（已知PSPACE未相对化，因此与L不同）。然后没有已知的相对化模型都使L = NP对于某些甲骨文，但将所有甲骨文的L与AP分开。”

— Thomas Klimpel

Answers:

不知道为什么Fortnow会说“没有和崩溃的有意义的模型” ...在我看来，在通常的Ruzzo-Simon-Tompa oracle模型下，QBF应该使它们崩溃（并且您包含的链接也同意）。请注意，此预言模型也有其怪癖：当且仅当每个预言，我们才有，因此任何见证分隔的预言都将暗示不相对的分隔。 $L$ $NP$ $L = NL$ $L^A = NL^A$ $A$

ALogTime = LOGTIME统一。是的，已打开。有一个相对的统一概念，您可以在该概念下折叠和。参见http://link.springer.com/article/10.1007/BF01692056中的定理6 。（一个警告：从技术上讲，该论文考虑了LOGSPACE统一NC1，但我认为该oracle构造的某些合理版本应在LOGTIME统一设置中起作用。） $NC1$ $ALogTime = NP$ $NC1$ $NP$ $NC1$

除此之外，除了观察到许多人已经尝试过而且还没有成功之外，我没有特别的理由相信它“很难证明”。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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稍微不相关：您能否在语句中详细说明一下：“ 对于每个 iff ”？实际上，我没有得到这样的陈述，即“由于是统一类，所以障碍不适用”。谢谢！

L = N L

$L = NL$

L^{A} = N L^{A}

$L^A = NL^A$

A

$A$

L

$L$

— 米切尔·卡迪哈克（MichaëlCadilhac）

我相信我所链接的论文中有陈述的证明。关于第二句话：您是否在问Fortnow为什么说Razborov-Rudich不适用？如果是这样，他的意思是，通常所理解的自然证据壁垒仅在您所针对的模型不统一（例如P / poly）不适用时才适用。

— 瑞安·威廉姆斯

啊，我读错了：我认为没有适用的障碍是相对化，不是自然证据，对不起。我的意思是：从道德上讲，相对化为什么是P vs NP而不是L vs NL的障碍？（因此，问题无关紧要。）

— 米歇尔·卡迪拉克（MichaëlCadilhac

简而言之，这是因为除非oracle磁带为空，否则RST oracle模型不允许您执行不确定的步骤。（这样做的原因很微妙；基本上，没有它的结果是不会相对的。）实际的论点更加复杂……

— 瑞安·威廉姆斯

证明ALogTime！= PH的天真想法：在确定性日志时间减少的情况下，ALogTime的布尔公式值问题已完成。因此，如果ALogTime = PH，则PH = coNP = ALogTime，因此布尔公式值问题将在针对coNP的确定性对数时间减少下完成。因此，从重言式问题到布尔公式值问题将有确定的对数时间减少。

确定性的日志时间减少应该是无害的，它们不能对解决重言式问题做出很大贡献。它们只是一个很好的形式化，意味着简化只能在本地进行。因此，剩下的任务是理解为什么重言式问题不能通过非常局部的简化而变成布尔公式值问题。我仍然看不到该怎么做，但至少剩下的任务很清楚，这样我至少有机会了解为什么很难（或不那么困难）。

— 托马斯·克里姆佩尔
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