次指数可解决的硬图问题

25

鉴于Arora，Barak和Steurer的最新结果，即独特游戏的次指数算法和相关问题，我对具有次指数时间算法但认为无法多项式求解的图形问题感兴趣。一个著名的例子是图同构，它具有运行时的次指数算法。另一个例子是log-Clique问题，它可以在拟多项式时间内解决（）。 $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

我正在寻找有趣的示例，并且最好寻找对次指数硬图问题（不一定是）的调查的参考。此外，亚指数时间算法是否存在图问题？ $NP$ $NP$

Impagliazzo，Paturi和Zane指出，指数时间假说意味着集团，k-可着色性和顶点覆盖需要时间。 $2^{\Omega(n)}$

cc.complexity-theory reference-request

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

2

仅出于完整性考虑：log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti 2010年

20

顺便说一下，可以在时间里完全解决Max Clique问题， $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ 其中 $N$ 是输入的大小。

如果通过邻接矩阵表示图，则这是微不足道的，因为这样 $N=|V|^2$ ，而蛮力搜索将花费时间 $2^{O(|V|)}$ 。

但是，即使图形由邻接表表示，我们也可以通过运行时间得到相同的界限 $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ 。为了了解如何实现，让我们得到一个NP-完全决策问题的 $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ -时间算法，在该算法中，我们得到了图 $G=(V,E)$ 和 $k$ ，我们想知道是否有大小为的集团 $\geq k$ 。

该算法仅删除度所有顶点以及入射在其上的边，然后再次进行处理，依此类推，直到我们在顶点的子集上留下顶点诱发的子图，每个度为，或带有空图。在后一种情况下，我们知道大小不可能存在。在前一种情况下，我们会在大约时间内进行蛮力搜索。注意和，这样，因此在时间中运行的蛮力搜索实际上在时间。 $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
source

12

实际上，由于这些原因，Impaggliazzo，Paturi和Zane认为，当要求与复杂度时，您需要将设置为证人的大小（即您需要将其定义为问题的一部分）。在 -clique情况下，见证人的大小为对于小，如您所说，您可以假设wlog至少有边和输入大小远大于见证大小。

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— 波阿斯·巴拉克

22

由于个顶点上的每个平面图的树宽均为，因此对于树宽图最多为图，在时间内可以解决的所有问题（存在a很多这样的问题）在平面图上具有次指数时间算法，方法是在多项式时间内计算树宽的常数因子近似值（例如，通过使用ratcatcher算法计算分支宽度），然后运行树宽算法，从而导致运行时间为个顶点上图的格式为。例子是平面独立集和平面支配集，它们当然是NP完全的。 $n$ $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— 巴特·詹森
source

15

次指数时间可解性（SUBEPT）与固定参数可处理性（FPT）之间有着紧密的联系。它们之间的链接在以下论文中提供。

次指数与参数化复杂度理论之间的同构，陈奕佳和马丁·格罗，2006年。

简而言之，他们引入了称为小型化映射的概念，该概念将参数化问题映射到另一个参数化问题。通过将正常问题视为由输入大小参数化的问题，我们具有以下连接。（参见定理16） $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

定理。在SUBEPT中，而在FPT中。 $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

请注意此处的定义。通常，我们将 -clique问题视为在参数化，因此在假设指数时间假设的情况下，没有针对其的次指数时间算法。但是这里我们通过输入大小来参数化问题，从而可以在，这是一个次指数时间算法。该定理告诉我们，在参数的某种扭曲下， clique问题是固定参数易处理的，这是合理的。 $k$ $k$ $O(m+n)$ $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

通常，在SERF归约下（次指数归约族）的SUBEPT问题可以转化为FPT归约下的FPT问题。（论文中的定理20）此外，由于它们在指数时间复杂度理论和参数化复杂度理论的整个问题层次之间提供了一个同构定理，因此它们之间的联系甚至更强。（定理25和47）尽管同构还不完整（它们之间有一些缺失的联系），但是对这些问题有一个清晰的认识仍然是一件很不错的事情，我们可以通过参数化的复杂度研究次指数时间算法。

有关更多信息，请参见JörgFlum和Martin Grohe以及复杂度专栏的编辑JacoboTorán所做的调查。

— 张显之张显之
source

是。顺便说一句，Flum和Grohe撰写了调查问卷；Toran是“复杂度列”编辑器。

— 安迪·德鲁克

@安迪：谢谢你的纠正。我将相应地修改本文。

— 张显之（张显之）2010年

12

另一个示例是Cop and Robber博弈，它对NP困难，但在具有n个顶点的图上的时间可解。XML中的BibTeX参考书目记录Fedor V. Fomin，Petr A. Golovach，JanKratochvíl，Nicolas Nisse，Karol Suchan：追求图表上的强盗。理论。计算科学 411（7-9）：1167-1181（2010） $2^{o(n)}$

— XXYYXX
source

3

糟糕，这可能是可耻的，但是我很久以来一直认为

难题不具有次指数时间算法，仅是因为指数时间假设。:(

N P

$\mathsf{NP}$

— 张显之张张之之2010年

6

没有羞耻......但是，一个简单的方法，看看这是不是真的是采取任何

难的语言

，然后形成一个“软垫”版本

中的'是'实例是形式的

，与

，对于一些固定

。那么

是

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ ，但是有一个确定性算法，其运行时间基本上为

。

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— 安迪·德鲁克

7

最佳的集团近似算法给出的近似因子令人难以置信（请记住，近似因子是微不足道的）。 $n/\text{polylog } n$ $n$

在各种硬度假设下，近似结果的硬度与之不太匹配，但仍给出硬度。我个人认为，团的逼近与多项式时间算法一样好。 $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

但是，在准多项式时间内，可以很容易地实现对近似。 $n/\text{polylog } n$

NP难问题是从SAT减少多项式时间的问题。即使SAT需要时间，这可能转化为时间为我们减少的问题。如果是后者具有输入大小为N，则可能的情况是为一个很小的常数。 $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source