的假设下合拢

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已知的是，如果则多项式层级合拢为和。 $NP\subseteq P/Poly$ $\Sigma_2^{P}$ $MA = AM$

什么是已知的发生，如果最强坍塌？ $NEXP\subseteq P/Poly$

circuit-complexity complexity

— 斯普林贝格
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事实上，它是“已知的是，如果

则多项式层级合拢为” Ò

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

_{2}

$_2\hspace{.02 in}$ P。

$\hspace{1.13 in}$

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我相信最强是。Impagliazzo Kabanets和Wigderson证明了这一点。 $NEXP = MA$

参见https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=zh-CN&as_sdt=0,5&sciodt=0,5

我也想知道比这更强大的崩溃。

编辑（8/24）：好的，我想到了一些可能更严重的崩溃，这基本上是根据上述链接论文的证明得出的。因为意味着（参照上述链接），和是下补体关闭时，我们也有下补体关闭，因此 $NEXP \subset P/poly$ $NEXP = EXP$ $EXP$ $NEXP$ $NEXP = MA \cap coMA$ ，它要强一些。实际上，这一假说表示任何的语言，一个单一证人串可以在对于任何给定长度的所有YES-实例相应的MA协议使用，所以也（其中 =“不经意MA”，见Fortnow-Santhanam-ME http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf $NEXP$ $w_n$ $n$ $NEXP = OMA \cap coOMA$ $OMA$ ）。这些额外的属性，尽管是技术性的，但在某些电路的下界参数中可能会很有用。

编辑2：看起来安德鲁·摩根已经强调了这一点。哎呀:)

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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发生了很多有趣的事情。我认识的大多数人都是从IKW纸开始的。那里显示了崩溃 $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ ，并且（我认为）是我们所知道的最复杂的复杂性类的字面崩溃。尽管我认为应该指出其他种类的“崩溃”。

我认为最重要的是“通用的简洁见证”属性（也来自IKW论文）。首先，它为您提供了一种工具，从中可以发现许多其他的崩溃是直接的后果。另一方面，最近的电路下限（例如here和here）利用了这种连接。简单地说，物业说，对于每一个语言，任何 -machine 决定，每一个有着简洁描根据证人。形式上有一个多项式取决于 $\textsf{NEXP}$ $\textsf{NEXP}$ $L$ $\textsf{NEXP}$ $M$ $L$ $x \in L$ $M$ $p$ $M$ ，使得对于每个 $x \in L$ ，有一个电路 $C_x$ 大小的 $p(|x|)$ 使得的真值表 $C_x$ 是不确定的选择的一个序列 $M$ 铅验收上输入 $x$ 。

证人的简洁性派上用场，因为您可以直接从中重新引用许多其他崩溃。例如，简单地得出 $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ 。例如，假设 $L$ 是在 $\textsf{NEXP}$ 经由 $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ 。简洁见证属性表示存在多项式 $p$ 因此 $M$ 具有大小 $p$ 简洁见证人。然后，我们可以决定 $L$ 的 $\textsf{EXP}$ 通过，输入 $x$ ，暴力破解所有尺寸的电路最多 $p(|x|)$ ，并检查它们是否编码了导致 $M$ 在输入 $x$ 上接受的选择序列。您可以使用（以前通过交互验证已知的）结果相结合这一点， $\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ 结束 $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ 。

值得强调的是，我们选择了 $M$ ，因此选择了证人的形式。例如，您实际上可以从“ $\textsf{NEXP}$ 具有通用的简洁见证人” 得出结论： $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ 。在这里， $\textsf{OMA}$ 是“ oblivious-MA”，这意味着有一个诚实的Merlin，它仅取决于输入长度。很容易看出， $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ ，所以基本上这只是给出了如何规范形式 $\textsf{NEXP}$ 语言计算的 $\textsf{P}/\textrm{poly}$ 在假设 $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ 首先。这是查看 $\textsf{OMA}$ 崩溃的一种方法：

对于语言 $L \in \mathsf{NEXP}$ 决定由机器 $M$ ，构建 $\mathsf{NEXP}$ 机 $M'$ 如下。查看 $n$ 位输入作为数字 $N$ 之间 $1$ 和 $2^n$ 。对于长度为每个 $x$ ，猜测见证人并运行进行验证。 $n$ $w_x$ $M(x,w_x)$ $M'(N)$ 当且仅当 $M$ 接受至少 $N$ 值时，接受。的猜测被布置成使得为证人的简要描述是一个电路其计算在地图上的的第比特。现在假设正好是中长度为的字符串。然后为简洁证人上输入是电路，其同时编码所有的 $x$ $M'$ $C$ $(x,i) \mapsto$ $i$ $w_x$ $N$ $L$ $n$ $M'$ $N$ $M$ 的见证人输入长度 $n$ 。特别地，如果 $M'$ 具有简洁的证人，则所有 $M$ 的证人可以由同一电路同时描述。

$\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$ $M$ $\textsf{NEXP}$ $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$

$L$ $M'$ $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ $L$

$\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$ $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ $\textsf{PSPACE}$ $\textsf{PSPACE}$ $\textsf{NEXP}$ $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$ $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$ $\textsf{NEXP}$ $\textsf{NEXP}$ $\textsf{EXP}$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{EXP}$ $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$

— 安德鲁·摩根
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顺便说一句，不要相信citeseer拥有我论文的最新版本（甚至是渲染最好的版本）。更好的是：) web.stanford.edu/~rrwill/projects.html

— 瑞安·威廉姆斯

谢谢你的建议！我会在未来牢记这一点（它可能也适用于其他作者）。

— Andrew Morgan