一类图的参考，可在订购时保留子图的距离

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让我们说，一个图拥有的财产，如果它的顶点可以责令以这样的方式曲线诱发顶点具有 $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ 对于所有。换句话说，在我们的排序中添加下一个顶点不会影响当前图形的距离度量。 $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

这种图的一个例子是规则的网格。 $n \times n$

此属性或图类是否有名称？他们被研究过了吗？

reference-request graph-theory

— 米奇
source

这并的曲线图的一个简单的例子不具有该属性是一个

为-cycle

。这是因为，对于任何顺序，所述子图

必须连接，所以在时间

，

是长度的线

，等等一些两个顶点是距离

开。

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Andrew Morgan

另一方面，找到一个好次序

的自然选择是从

的任意选择中进行BFS 。通过查看

与一些额外的边缘BFS树，好像唯一阻碍其财产

是为了有东西“喜欢”一个

单循环的

中

。“喜欢”是指存在一个

周期

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

与

，使得

在

。如果我们称这样的循环为“最小”，那么属性

是否等于不存在长度至少为5的最小循环，这是真的吗？

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— Andrew Morgan

1

多维数据集具有一个诱导和等距的6周期（删除该多维数据集的两个相反的顶点；剩下的是6周期），但是可以以保持距离的方式进行排序（例如BFS）。因此，您的

周期并不总是障碍。此示例还显示，即使在执行其他一些排序操作时，贪婪地删除保留距离的顶点也可能会卡住。

k

$k$

— David Eppstein，

8

似乎您在询问有关允许保留距离的消除顺序的图，这些图构成了本文研究的一类图：

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— 吉姆
source

2

也可以在作者的网页上免费获得：lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud，2016年

8

对于整个图类，我没有答案，但是具有此属性的图的三个子类是距离遗传图，弦图和中值图。

$v_1$

和弦图是具有以下性质的有序图：每个相继的顶点在添加后都会为其邻域具有一个集团。这种排序显然是保持距离的。

同样，中位数图（包括网格示例）具有以下属性：对于任何广度优先的顺序，每个顶点在添加时都具有超立方体邻域。（请参阅Eppstein等人的第76-77页，“媒体理论”，施普林格，2008年）。同样，此属性意味着加法不能更改先前顶点之间的距离。

我不知道有一类图，它概括了弦图和距离遗传图，它们可以在多项式时间内识别并且具有您的属性。它们是可以通过单个顶点一个接一个地添加顶点来构建的连接图，其中每个新顶点的邻居都是前一个图的闭合邻域之一的子集。它们几乎与（但不完全）与可分解图相同，不同之处在于新顶点不必与要复制其邻域的顶点相邻。弦图的消除顺序是这种类型的构造，其中每个新顶点都选择邻域的集团子集。类似地，距离遗传图具有这种类型的构造，其中每个新顶点的邻居都是整个封闭邻域，开放邻域或单个顶点。每个新顶点都不能更改先前顶点的距离，因此此构造序列具有您要查找的属性。

如果将顶点v定义为“可移动”（如果它是该序列中的最后一个顶点）（它的开放邻域是其他人的封闭邻域的子集），则删除其他可移除顶点不会改变v的可去除性：如果v的邻域是u的子集，并且我们将u删除为具有w的子集的邻域，则v仍然是可移动的，因为v的邻域仍然是w的子集。因此，我们可以遵循的去除步骤的顺序将图形还原为无，从而形成反拟似物，这样的序列可以通过贪心算法在多项式时间内找到，该算法会在每次找到可移动顶点时重复删除该可移动顶点。反转此算法的输出，将给出给定图的构造顺序。多维数据集的图给出了具有您的属性的图的示例（中值图），但不能以这种方式构造。我认为可以通过这种方式构造的中位数图恰好是正方形图（其中包括规则网格）。具有这种构造顺序的图还包括所有具有通用顶点的图，例如轮图，因此（与弦图和距离遗传图不同）（它们不像弦图和距离遗传图），它们也不是完美的，并且在诱导子图下也不是封闭的。

— 大卫·埃普斯坦
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您不确定这类图表的性质让人想起消除控制的顺序。本文似乎有关原题：epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/...

— JimN

我认为主导消除顺序可能与可表示性相同。但是，您应该将该纸张链接到一个实际答案中，因为它的“保距消除顺序”似乎正是原始问题所要的。

— David Eppstein