半定编程（SDP）的对偶差距何时为零？

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在文献中我找不到SDP对偶性鸿沟消失的精确表征。或者，“强对偶性”何时成立？

例如，当人们在Lasserre和SOS SDP之间来回移动时，原则上会有双重性差距。但是，似乎不存在这种差距的原因似乎有些“琐碎”。

Slater的条件似乎足够但不是必需的，它适用于所有凸程序。我希望对于SDP来说尤其如此。同样，我很高兴看到任何使用Slater条件证明二元差距消失的明确例子。

approximation-hardness convex-optimization semidefinite-programming sum-of-squares primal-dual

— 研究生
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对于SDP，有一个更为复杂的对偶理论，即：没有像Slater条件那样的“额外条件”。这是由于Ramana造成的。（有关涉及SOS的另一种说法，请参见[KS12]。）老实说，我从未尝试理解这些文件，如果有人为我哑口无言，我会很高兴。

这项工作的一个显着结果是，当且仅当它在coNP中时，测试给定SDP是否可行的问题在NP中。（但是，我认为专家们认为问题不在两个方面。已知的最佳上限是PSPACE。）

— 瑞安·奥唐奈
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非常感谢您的回复！让我看看这个！（这是一个偶然的巧合，在过去的几周里，我也一直试图与Daniel Kane一起研究您在深网电路下限上的论文！这是一篇很有启发性的论文！我一直想知道您对LTF所做的事情是否还会更多现实的激活，例如ReLU。）

— 研究生

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对于标准格式 Slater的条件为存在满足仿射约束正定的存在。我想这对于您在组合优化/近似算法文献中可以找到的任何SDP都感到满意。例如，对于Goemans-Williamson Max-Cut SDP，可行性约束为和单位矩阵是一个正定可行解。

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

就Lasserre /平方和的层次结构而言，Lasserre表明，如果由多项式约束确定的可行集具有内部点，则不存在对偶间隙。您可以在本文中找到一个较弱的条件。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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非常感谢您的参考！那么，转换后的Slater条件是否也是SDP的必要条件？还是还有其他必要条件？（我很快将浏览您所提到的论文，但我想知道您是否可以对“较弱条件”的含义说些什么？您的意思是第二篇论文中的条件仍然是充分条件，而不是必要条件条件，但是比第一篇论文中的充分条件更简单？）

— 研究生

这是标准的Slater条件，我刚刚专门研究SDP，这简化了事情，因为除PSD约束外，所有约束都是仿射的。此条件不是必需的。我也不认为任何一个SoS条件都是必要的，但是“较弱”条件不需要内部点的存在，因此可能更容易验证。

— Sasho Nikolov

谢谢！因此，未知的必要条件是什么？

— 研究生

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有一个很好的（我认为...）表征何时强对偶性成立或对{\ em all}目标函数失败。

我们说半定{\ em system}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

如果这是SDP 的目标函数，则表现不佳 $c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

具有一个有限的最优值，但是对偶SDP没有具有相同值的解决方案：即，强对偶性对于某些失败 $c.$

$(P_{SD})$ 被表现良好，如果它不是非常表现。也就是说，对于每个目标函数，都具有很强的对偶性。（即，对于原始SDP具有有限最佳值的每个，对偶具有相同值的解）。 $c$

当然，如果Slater的条件成立，则表现良好，但反之则不成立。 $(P_{SD})$

该论文即将在SIAM评论中发表。我希望人们会喜欢它:)

— 地区9
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