有限域上线性动力系统可达性的复杂性

设为有限域上的矩阵，并且，为空间向量。我对确定是否存在从而使的计算复杂性感兴趣，即在有限域上的线性动力系统的可达性问题中。$A$$\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$$x$$y$$\mathbb{F}_2^n$$t \in \mathbb{N}$$A^t x = y$

问题显然在（猜测并通过重复平方来计算多项式时间内的）。我和我的同事们也能够证明 -相关问题的完全性，即确定是否存在使得，其中是分量不等式。$\mathbf{NP}$$0 \le t < 2^n$$A^t$$\mathbf{NP}$$t \in \mathbb{N}$$A^t x \ge y$$\ge$

这个问题似乎很自然，但是我在文献中找不到它的计算复杂性的参考，可能是因为我不知道确切的术语。您是否知道等式问题是 -complete还是实际上在？$\mathbf{NP}$$\mathbf{P}$

为了清楚起见，我将把您的问题概括为特征（具有基本字段），而不是的特定情况。我将和作为固定常数。我将它留给读者以弄清楚对这些参数的确切依赖性是什么，因为可以进行一些折衷。最终结果是，您的问题大致等于特征有限域的离散对数问题。F q p = q = 2 p q $p > 0$$\mathbb{F}_q$$p=q=2$$p$$q$$p$

更具体地，让普通离散对数问题在的扩展是，给定一个扩展字段的，并且，找到任何整数使，或者报告不存在整数。给定，让扩展上的强离散对数问题为，求整数，使得 为整数 iff，或报告没有˚F ˚F q一个，b∈ ˚F吨一个= b 吨˚F q ˚F，一个，bŽ，米一个= b 吨$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F},a,b$$z,m$$a = b^t$$t$$t = z \pmod{m}$$t$存在。然后存在以下减少：

• 从离散登录扩展名到问题的确定映射减少。$\mathbb{F}_q$

• 有一种有效的确定性算法，当可以访问oracle来计算扩展名上的强离散日志问题时，可以解决您的问题。$\mathbb{F}_q$

因此，我认为在不久的将来不太可能会发布 硬度的证明或您的问题出在的证明。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

注意： 可以将扩展上的强离散对数问题Turing简化为以下表面上较弱的形式（尽管看上去仍比普通的离散对数问题强）：给定扩展字段为和，找到最小的非负整数从而。这是由于这样的事实，即的阶为1加最小的非负因此。$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}_q$$a,b \in \mathbb{F}$$t$$a = b^t$$b$$t$$b^{-1} = b^t$

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第一还原： 声称是映射的扩展上的普通离散对数问题减少了此问题。这是因为当我们将视为的维向量空间时，中的乘法是线性变换的事实。因此，在形式为的问题在 变为，其中是维向量，是$\mathbb{F}_{q}$$\mathbb{F}_{q^n}$$\mathbb{F}_{q^n}$$n$$\mathbb{F}_q$$a = b^t$$\mathbb{F}_{q^n}$$\vec{a} = B^t\vec{e}$$\mathbb{F}_q$$\vec{a},\vec{e}$$n$$B$$n\times n$矩阵，遍及。向量可以很容易地从，的计算出来，而 只是中的表示形式，可以有效地写下来。即使，这似乎仍然是一般离散对数问题的难题（当然，不断增长）。尤其是，人们仍在竞争以了解他们可以计算出多远的距离。$\mathbb{F}_q$$\vec{a}$$a$$B$$b$$\vec{e}$$1 \in \mathbb{F}_{q^n}$$p=q=2$$n$

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第二种减少： 声称您的问题由于扩展而简化为强离散日志问题。这种减少有几块，所以请原谅。让输入是维向量和矩阵，遍布 ; 目的是找到使。$\mathbb{F}_q$$n$$x,y$$n\times n$$A$$\mathbb{F}_q$$t$$y = A^tx$

基本思想是用约旦规范形式（JCF）编写，从中我们可以将测试简化为具有一些简单代数的强离散对数问题。$A$$y = A^tx$

在矩阵相似性下使用规范形式的一个原因是，如果，则。因此，我们可以将为，其中格式比任意格式好得多。JCF是一种特别简单的形式，可启用其余算法。因此，从现在开始，假设已经在JCF中，但也允许和可能在的扩展字段中具有条目 。$A = P^{-1}JP$$A^t = P^{-1}J^tP$$y = A^tx$$(Py) = J^t(Px)$$J$$A$$A$$x,y,$$A$$\mathbb{F}_q$

备注：使用JCF会产生一些细微差别。具体来说，我假设我们可以在一个时间步内在任何扩展名（无论大小）中执行现场操作，并且可以有效地计算JCF。 先验地，这是不现实的，因为使用JCF可能需要在指数级的扩展域（特征多项式的除法域）中进行。但是，通过谨慎考虑并利用我们在有限领域内工作的事实，我们可以规避这些问题。特别是，我们将与每个Jordan块关联一个在上最多的度数字段$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}'$$n$$\mathbb{F}_q$ 因此Jordan块中的所有条目以及，的对应元素 都位于。字段可能因块而异，但是使用此``混合表示''可以有效地描述JCF，而且可以有效地找到它。本节其余部分描述的算法一次只需要处理一个块，因此只要在相关字段内执行其字段操作，该算法将非常有效。 [结束语]$x$$y$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$

JCF的使用为我们提供了以下形式的方程，每个方程对应一个Jordan块：

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$

该算法将分别处理每个块。在一般情况下，对于每个块，我们都会查询一个强大的离散对数预言机，该预言机将告诉我们一个模块化条件。我们还将得到一个集合这样 必须成立。处理完所有块后，我们需要检查是否存在满足所有这些条件的合取项的选择。这可以通过确保所有集合中都有一个公共元素来完成， 这样等式和$t = z \pmod{m}$$S \subseteq \{0,1,\cdots,p-1\}$$\bigvee_{s\in S}\left[ t = s \pmod{p} \right]$$t$$s$$S$$t = s \pmod p$$t = z_j \pmod{m_j}$同时满足，其中跨块。$j$

在整个过程中还会出现一些特殊情况。在这种情况下，我们会得到形式的条件对于一些价值，或形式对于一些特定的整数，从某些块，或者我们甚至可能发现没有可以存在。这些可以毫无问题地并入一般情况的逻辑中。$t > \ell$$\ell$$t = s$$s$$t$

现在，我们描述处理每个Jordan块的子过程。修复这样的块。

首先仅关注块中的最后一个坐标。条件要求。换句话说，它是某些字段扩展中的离散日志问题的一个实例。然后，我们使用oracle解决该问题，这要么导致无解，要么在上给出模块化条件。如果返回“无解决方案”，则返回指示。否则，我们得到条件，它等于。$y = A^tx$$y_k = \lambda^t x_k$$\mathbb{F}_q$$t$$t = z \pmod{m}$$y_k = \lambda^t x_k$

为了处理其他坐标，我们从以下公式开始（例如，参见here）：

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & & & & \\ & \lambda & 1 & & & \\ & & \lambda & 1 & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & & \lambda & 1 \\ & & & & & \lambda \\ \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \binom{t}{2}\lambda^{t-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}\lambda^{t-k+1} \\ & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}\lambda^{t-k+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^t & \binom{t}{1}\lambda^{t-1}\\ & & & & & \lambda^t \end{bmatrix}$$ \ ddots＆\ ddots＆\ vdots \\＆＆＆＆＆\ lambda ^ t＆\ binom {t} {1} \ lambda ^ {t-1} \\＆＆＆＆＆＆＆\ lambda ^ t \ end {bmatrix } 首先，让我们处理一下$x_k = 0$。由于我们已经有了暗示的模块化条件，因此我们可以假设。但是然后我们可以简化为专注于和的前个条目以及Jordan块的左上子矩阵。因此，从现在开始，假设。$y_k = \lambda^t x_k$$y_k = 0$$k-1$$x$$y$$(k-1)\times (k-1)$$x_k \ne 0$

其次，我们将处理。在这种情况下，约旦块的权力具有一种特殊形式，并且力要么为一些，要不，没有其他的条件。我不会抱怨这种情况，但是只要可以对每个案例进行有效检查就足够了。（或者，我们可以简化为是可逆的情况；请参阅我对这个问题的评论。）$\lambda = 0$$t = z$$z \le k$$t > k$$A$

最后，我们得出一般情况。由于我们已经有了表示的模块化条件，因此我们可以假定条件成立，并使用作为的替代者。更一般地，我们可以使用来表示。因此，我们需要检查以下系统是否适合某些选择： $y_k = \lambda^t x_k$$y_k x_k^{-1}$$\lambda^t$$y_kx_k^{-1}\lambda^{-z}$$\lambda^{t-z}$$t$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{k-1} \\ y_{k} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \binom{t}{2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-2} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-1)} \\ & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1} & \cdots & \cdots & \binom{t}{k-2}y_kx_k^{-1}\lambda^{-(k-2)} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & y_kx_k^{-1} & \binom{t}{1}y_kx_k^{-1}\lambda^{-1}\\ & & & & & y_kx_k^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{k-1} \\ x_{k} \\ \end{bmatrix}$$ y_kx_k ^ { - 1} \ {端bmatrix} \ {开始} bmatrix X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\？\ vdots \\ X_ {K-1} \\ X_ {K} \\？\ {端bmatrix} 观察到方程是否成立仅取决于；这是因为对的依赖只是多项式， $t \pmod{p}$$t$$t$必须是整数，并且上述方程在特征。因此，我们可以只尝试分别中每个值。我们将返回的集合只是系统满足的的选择。$p$$t \in \{0,1,\ldots,p-1\}$$S$$t$

因此，现在，除了某些特殊情况外，每块子过程找到了一个模块化条件和一个集合因此必须保持某个。这些条件等效于此特定Jordan块内的。因此，我们从子过程中返回它们。特殊情况下要么得出结论说不可能存在（在这种情况下子过程立即返回该指示），要么我们有一个模块化条件和一些特殊条件，例如代表整数或对于某个整数$t = a \pmod{m}$$S$$t = s \pmod{p}$$s \in S$$y = A^tx$$t$$t = a \pmod{m}$$t = s$$s$$t > \ell$$\ell$。无论如何，所涉及的条件都等于该Jordan块内的。因此，如上所述，子过程仅返回这些条件。$y = A^tx$

这样就得出了每个块子过程以及整个算法的规范。它的正确性和效率来自前面的讨论。

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在第二个还原中使用JCF的 细微之处：如第二个还原中所述，使用JCF会产生一些细微的差别。有一些减轻这些问题的观察：

• 有限域的扩展是正常的。这意味着，如果是一个不可约多项式超过，那么任何扩展含有的根部 包含所有的根。换句话说， 度为的不可约多项式的分裂场仅在具有度。$P$$\mathbb{F}_q$$\mathbb{F}_q$$P$$P$$P$$d$$d$$\mathbb{F}_q$

• Jordan标准格式有一个概括，称为基本有理标准格式（PRCF），它不需要写下字段扩展名。具体地，如果是与条目的矩阵，那么我们可以写出对于一些矩阵与在条目，其中而且在PRCF中。此外，如果我们假装条目生活在一个领域 延伸其中包含的所有特征值，那么$A$$\mathbb{F}_q$$A = P^{-1}QP$$P,Q$$\mathbb{F}_q$$Q$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}_q$$A$$Q$实际上将在JCF中。因此，我们可以将计算的JCF 视为计算PRCF的特例。$A$

• 使用PRCF的形式，我们可以将的JCF计算为$A$

  1. 通过计算的PRCF$A$$\mathbb{F}_q$

  2. 计算每个块的PRCF中的PRCF（从维基百科文章借用符号），经扩展域其中，被选择为包含的所有的特征值$C$$A$$\mathbb{F}'$$\mathbb{F}'$$C$

  这种分解的主要优点是，块的特征多项式都是不可约的，因此，根据我们的第一个观察，我们可以选择来获得大小的度数（最大为）在。缺点是现在我们必须使用不同的扩展字段来表示JCF的每个块，因此表示是非典型且复杂的。$C$$\mathbb{F}'$$C$$n$$\mathbb{F}_q$

因此，给定以有效地计算PRCF的能力，我们可以有效地计算该JCF的适当的编码，并且该编码是使得与JCF的任何特定块的工作可以程度的扩展区域内至多完成超过。$n$$\mathbb{F}_n$

关于有效地计算PRCF，当已知的特征多项式的因式分解时，论文“ 有理规范形式算法 ”（KR Matthews，Math.Bohemica 117（1992）315-324）给出了一种有效的算法来计算PRCF。。对于固定的特征（例如我们拥有的），可以在确定性多项式时间内完成有限域上的单变量多项式分解（请参见“ 关于有限域上的多项式的新因式分解算法 ”（H. Niederreitter和R. Gottfert，Math。计算64（1995）347-353）），因此可以有效地计算PRCF。$A$